Номер 60.9, страница 234, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§60. Задачи с параметрами. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 60.9, страница 234.

60.9 При каких значениях $a$ система уравнений имеет решения:

а) $\begin{cases} y = 2x^2 - 5x + 1, \\ y = 3x + a; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = 3x^2 - 4x - 2, \\ y = -10x + a? \end{cases}$

а)

Чтобы найти значения параметра $a$, при которых данная система уравнений имеет решения, необходимо определить, при каких условиях графики функций, заданных этими уравнениями, пересекаются.

Система уравнений: $ \begin{cases} y = 2x^2 - 5x + 1 \\ y = 3x + a \end{cases} $

Решение системы соответствует точкам пересечения параболы $y = 2x^2 - 5x + 1$ и прямой $y = 3x + a$. Для нахождения абсцисс $x$ этих точек приравняем правые части уравнений: $2x^2 - 5x + 1 = 3x + a$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $Ax^2 + Bx + C = 0$: $2x^2 - 5x - 3x + 1 - a = 0$ $2x^2 - 8x + (1 - a) = 0$

Квадратное уравнение имеет хотя бы одно действительное решение, если его дискриминант $D$ неотрицателен, то есть $D \geq 0$. Найдем дискриминант этого уравнения, где коэффициенты $A=2$, $B=-8$, $C=1-a$: $D = B^2 - 4AC = (-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (1 - a)$ $D = 64 - 8(1 - a)$ $D = 64 - 8 + 8a$ $D = 56 + 8a$

Теперь решим неравенство $D \geq 0$: $56 + 8a \geq 0$ $8a \geq -56$ $a \geq \frac{-56}{8}$ $a \geq -7$

Следовательно, система уравнений имеет решения при всех значениях $a$, которые удовлетворяют этому неравенству.

Ответ: при $a \geq -7$ (или $a \in [-7; +\infty)$).

б)

Рассмотрим вторую систему уравнений: $ \begin{cases} y = 3x^2 - 4x - 2 \\ y = -10x + a \end{cases} $

Действуем аналогично первому пункту. Приравняем правые части уравнений для нахождения общих точек параболы $y = 3x^2 - 4x - 2$ и прямой $y = -10x + a$: $3x^2 - 4x - 2 = -10x + a$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду: $3x^2 - 4x + 10x - 2 - a = 0$ $3x^2 + 6x - (2 + a) = 0$

Система имеет решения, если полученное квадратное уравнение имеет хотя бы один корень, то есть его дискриминант $D \geq 0$. Коэффициенты уравнения: $A=3$, $B=6$, $C=-(2+a)$. Вычислим дискриминант: $D = B^2 - 4AC = 6^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-(2 + a))$ $D = 36 + 12(2 + a)$ $D = 36 + 24 + 12a$ $D = 60 + 12a$

Решим неравенство $D \geq 0$: $60 + 12a \geq 0$ $12a \geq -60$ $a \geq \frac{-60}{12}$ $a \geq -5$

Таким образом, данная система уравнений имеет решения при найденных значениях $a$.

Ответ: при $a \geq -5$ (или $a \in [-5; +\infty)$).