Номер 60.16, страница 235, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§60. Задачи с параметрами. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 60.16, страница 235.

60.16 При каких значениях параметра $a$ не имеет корней уравнение:

a) $48 \cdot 4^x + 27 = a + a \cdot 4^{x+2};$

б) $9^x + 2a \cdot 3^{x+1} + 9 = 0?$

а)

Исходное уравнение: $48 \cdot 4^x + 27 = a + a \cdot 4^{x+2}$.

Сначала преобразуем уравнение, используя свойство степеней $4^{x+2} = 4^x \cdot 4^2 = 16 \cdot 4^x$.

$48 \cdot 4^x + 27 = a + 16a \cdot 4^x$

Перенесем все члены с $4^x$ в одну сторону, а остальные члены — в другую:

$48 \cdot 4^x - 16a \cdot 4^x = a - 27$

Вынесем $4^x$ за скобки:

$(48 - 16a) \cdot 4^x = a - 27$

Введем замену переменной. Пусть $t = 4^x$. Так как показательная функция $y = 4^x$ принимает только положительные значения, то должно выполняться условие $t > 0$.

После замены уравнение принимает вид:

$(48 - 16a) \cdot t = a - 27$

Исходное уравнение не будет иметь корней, если это линейное уравнение относительно $t$ не будет иметь положительных решений.

Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: Коэффициент при $t$ равен нулю.

$48 - 16a = 0 \implies 16a = 48 \implies a = 3$.

Подставим значение $a = 3$ в уравнение: $0 \cdot t = 3 - 27$, что равносильно $0 \cdot t = -24$. Это уравнение не имеет решений для $t$ ни при каких значениях, следовательно, при $a=3$ исходное уравнение не имеет корней.

Случай 2: Коэффициент при $t$ не равен нулю.

$48 - 16a \neq 0 \implies a \neq 3$.

В этом случае мы можем выразить $t$:

$t = \frac{a - 27}{48 - 16a}$

Поскольку мы ищем случаи, когда исходное уравнение не имеет корней, нам нужно, чтобы не существовало положительного $t$, удовлетворяющего этому равенству. Это произойдет, если значение дроби будет меньше или равно нулю: $t \le 0$.

$\frac{a - 27}{48 - 16a} \le 0$

$\frac{a - 27}{16(3 - a)} \le 0$

Поскольку $16 > 0$, знак неравенства не изменится, если мы разделим на 16:

$\frac{a - 27}{3 - a} \le 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя: $a = 27$ и $a = 3$. Эти точки делят числовую ось на три интервала. Определим знак дроби в каждом из них:

• При $a < 3$ (например, $a=0$): $\frac{0 - 27}{3 - 0} = -9 < 0$. Интервал подходит.
• При $3 < a < 27$ (например, $a=4$): $\frac{4 - 27}{3 - 4} = 23 > 0$. Интервал не подходит.
• При $a > 27$ (например, $a=30$): $\frac{30 - 27}{3 - 30} = -\frac{3}{27} < 0$. Интервал подходит.

Значение $a = 27$ обращает числитель в ноль, что удовлетворяет условию $\le 0$ (при этом $t=0$, и уравнение $4^x=0$ не имеет корней). Значение $a = 3$ обращает знаменатель в ноль и должно быть исключено. Таким образом, решение неравенства: $a \in (-\infty, 3) \cup [27, \infty)$.

Объединяя результаты обоих случаев ($a=3$ из случая 1 и $a \in (-\infty, 3) \cup [27, \infty)$ из случая 2), получаем итоговое множество значений параметра $a$, при которых уравнение не имеет корней.

Ответ: $a \in (-\infty, 3] \cup [27, \infty)$.

б)

Исходное уравнение: $9^x + 2a \cdot 3^{x+1} + 9 = 0$.

Преобразуем уравнение, представив $9^x$ как $(3^x)^2$ и $3^{x+1}$ как $3 \cdot 3^x$.

$(3^x)^2 + 2a \cdot (3 \cdot 3^x) + 9 = 0$

$(3^x)^2 + 6a \cdot 3^x + 9 = 0$

Сделаем замену переменной $t = 3^x$. Поскольку $3^x > 0$ для любого $x \in \mathbb{R}$, то $t > 0$.

Уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $t$:

$t^2 + 6at + 9 = 0$

Исходное уравнение не имеет корней тогда и только тогда, когда это квадратное уравнение не имеет положительных корней. Это возможно в двух случаях: либо у уравнения нет действительных корней, либо все его действительные корни неположительны (т.е. $\le 0$).

Найдем дискриминант $D$ этого уравнения: $D = (6a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36a^2 - 36 = 36(a^2 - 1)$.

Случай 1: Уравнение не имеет действительных корней.

Это происходит, когда $D < 0$.

$36(a^2 - 1) < 0 \implies a^2 - 1 < 0 \implies (a-1)(a+1) < 0$.

Решением этого неравенства является интервал $a \in (-1, 1)$.

Случай 2: Уравнение имеет действительные корни ($D \ge 0$), но все они неположительны ($t \le 0$).

По теореме Виета для уравнения $t^2 + pt + q = 0$, чтобы оба корня были неположительными, должны выполняться следующие условия:

1. $D \ge 0$ (корни действительные).
2. $t_1 + t_2 \le 0$ (сумма корней неположительна).
3. $t_1 \cdot t_2 \ge 0$ (произведение корней неотрицательно).

Применим эти условия к нашему уравнению $t^2 + 6at + 9 = 0$:

1. $D = 36(a^2 - 1) \ge 0 \implies a^2 \ge 1 \implies a \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

2. Сумма корней $t_1 + t_2 = -6a$. Условие $t_1 + t_2 \le 0$ дает $-6a \le 0 \implies a \ge 0$.

3. Произведение корней $t_1 \cdot t_2 = 9$. Условие $9 \ge 0$ всегда выполнено. Так как произведение корней строго положительно ($9 > 0$), то корни не могут быть равны нулю и, если существуют, имеют одинаковый знак.

Найдем пересечение условий 1 и 2: $a \in ((-\infty, -1] \cup [1, \infty)) \cap [0, \infty)$.

Пересечением является промежуток $a \in [1, \infty)$.

Теперь объединим результаты обоих случаев. Уравнение не имеет корней, если $a$ принадлежит множеству, полученному из случая 1, или множеству, полученному из случая 2.

Объединение множеств: $(-1, 1) \cup [1, \infty)$.

Это соответствует условию $a > -1$.

Ответ: $a > -1$.