Номер 60.19, страница 235, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§60. Задачи с параметрами. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 60.19, страница 235.

60.19 При каких значениях $a$:

a) уравнение $x^4 - 8x^2 + 4 = a$ не имеет корней;

б) уравнение $3x^4 + 4x^3 - 12x^2 = a$ имеет не менее трёх корней?

а) Решим задачу графически. Количество корней уравнения $x^4 - 8x^2 + 4 = a$ равно числу точек пересечения графика функции $f(x) = x^4 - 8x^2 + 4$ и горизонтальной прямой $y=a$. Для нахождения области значений функции $f(x)$ исследуем её на экстремумы.

Найдём производную функции:

$f'(x) = (x^4 - 8x^2 + 4)' = 4x^3 - 16x$.

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:

$4x^3 - 16x = 0 \implies 4x(x^2 - 4) = 0 \implies 4x(x-2)(x+2) = 0$.

Критические точки: $x_1 = -2$, $x_2 = 0$, $x_3 = 2$.

Определим знаки производной на полученных интервалах. В точках $x=-2$ и $x=2$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точки локального минимума. В точке $x=0$ производная меняет знак с «+» на «-», это точка локального максимума.

Вычислим значения функции в этих точках:

$f_{min} = f(-2) = (-2)^4 - 8(-2)^2 + 4 = 16 - 32 + 4 = -12$.

$f_{max} = f(0) = 0^4 - 8(0)^2 + 4 = 4$.

$f_{min} = f(2) = 2^4 - 8(2)^2 + 4 = 16 - 32 + 4 = -12$.

Поскольку $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = +\infty$, наименьшее значение функции (глобальный минимум) равно $-12$. Таким образом, область значений функции $E(f) = [-12; +\infty)$.

Уравнение $f(x) = a$ не имеет корней, если прямая $y=a$ не пересекает график функции $y=f(x)$, то есть когда значение $a$ меньше наименьшего значения функции.

Следовательно, уравнение не имеет корней при $a < -12$.

Ответ: $a \in (-\infty; -12)$.

б) Аналогично пункту а), исследуем функцию $g(x) = 3x^4 + 4x^3 - 12x^2$, чтобы определить, при каких $a$ уравнение $g(x)=a$ имеет не менее трёх корней. Количество корней равно числу точек пересечения графика функции $y=g(x)$ и прямой $y=a$.

Найдём производную:

$g'(x) = (3x^4 + 4x^3 - 12x^2)' = 12x^3 + 12x^2 - 24x$.

Найдём критические точки, решив уравнение $g'(x)=0$:

$12x^3 + 12x^2 - 24x = 0 \implies 12x(x^2+x-2) = 0 \implies 12x(x+2)(x-1) = 0$.

Критические точки: $x_1=-2$, $x_2=0$, $x_3=1$.

В точке $x=-2$ — локальный минимум, в точке $x=0$ — локальный максимум, в точке $x=1$ — локальный минимум.

Вычислим значения функции в этих экстремумах:

$g(-2) = 3(-2)^4 + 4(-2)^3 - 12(-2)^2 = 3(16) + 4(-8) - 12(4) = 48 - 32 - 48 = -32$.

$g(0) = 3(0)^4 + 4(0)^3 - 12(0)^2 = 0$.

$g(1) = 3(1)^4 + 4(1)^3 - 12(1)^2 = 3 + 4 - 12 = -5$.

Проанализируем количество корней уравнения $g(x)=a$ в зависимости от $a$:

• Если $a < -32$ (ниже глобального минимума), корней нет.
• Если $a = -32$, есть один корень.
• Если $-32 < a < -5$, есть два корня.
• Если $a = -5$ (значение в локальном минимуме), прямая $y=-5$ касается графика в точке $x=1$ и пересекает его еще в двух точках, итого — три корня.
• Если $-5 < a < 0$, прямая $y=a$ пересекает график в четырёх точках, итого — четыре корня.
• Если $a=0$ (значение в локальном максимуме), прямая $y=0$ касается графика в точке $x=0$ и пересекает его еще в двух точках, итого — три корня.
• Если $a > 0$, есть два корня.

Условию «имеет не менее трёх корней» (то есть 3 или 4 корня) удовлетворяют значения $a$, при которых $a=-5$, $-5 < a < 0$ и $a=0$. Объединяя эти случаи, получаем, что уравнение имеет не менее трёх корней при $-5 \le a \le 0$.

Ответ: $a \in [-5; 0]$.