Номер 60.18, страница 235, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§60. Задачи с параметрами. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 60.18, страница 235.

60.18 При каких значениях $a$ имеет ровно три корня уравнение:

а) $x(x + 3)^2 + a = 0$;

б) $x^3 - 12x + 1 = a?$

а) $x(x + 3)^2 + a = 0$

Для того чтобы найти, при каких значениях параметра $a$ уравнение имеет ровно три корня, преобразуем его к виду, удобному для графического анализа.
Перепишем уравнение: $x(x + 3)^2 = -a$.
Рассмотрим функцию $f(x) = x(x + 3)^2$. Количество корней исходного уравнения равно количеству точек пересечения графика функции $y = f(x)$ и горизонтальной прямой $y = -a$.
Раскроем скобки в выражении для функции: $f(x) = x(x^2 + 6x + 9) = x^3 + 6x^2 + 9x$.

Чтобы построить эскиз графика, исследуем функцию на экстремумы. Для этого найдем ее производную:
$f'(x) = (x^3 + 6x^2 + 9x)' = 3x^2 + 12x + 9$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$3x^2 + 12x + 9 = 0$
Разделим обе части на 3:
$x^2 + 4x + 3 = 0$
Корни этого квадратного уравнения (например, по теореме Виета) равны $x_1 = -3$ и $x_2 = -1$. Это точки экстремумов функции $f(x)$.

Вычислим значения функции в этих точках, чтобы определить значения локальных максимума и минимума:
$f(-3) = -3(-3 + 3)^2 = -3 \cdot 0^2 = 0$ (локальный максимум).
$f(-1) = -1(-1 + 3)^2 = -1 \cdot 2^2 = -4$ (локальный минимум).

Уравнение $f(x) = -a$ будет иметь ровно три различных корня, если прямая $y = -a$ будет проходить строго между локальным максимумом и локальным минимумом.
Это соответствует двойному неравенству:
$f_{min} < -a < f_{max}$
$-4 < -a < 0$
Умножим все части неравенства на -1, изменив при этом знаки неравенства на противоположные:
$4 > a > 0$
Что можно записать как $0 < a < 4$.

Ответ: $a \in (0; 4)$.

б) $x^3 - 12x + 1 = a$

Данное уравнение уже представлено в виде $f(x) = a$. Количество корней этого уравнения равно количеству точек пересечения графика функции $f(x) = x^3 - 12x + 1$ и горизонтальной прямой $y = a$.

Исследуем функцию $f(x) = x^3 - 12x + 1$ на экстремумы. Для этого найдем ее производную:
$f'(x) = (x^3 - 12x + 1)' = 3x^2 - 12$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$3x^2 - 12 = 0$
$3x^2 = 12$
$x^2 = 4$
Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$.

Вычислим значения функции в этих точках, чтобы определить локальные максимум и минимум:
$f(-2) = (-2)^3 - 12(-2) + 1 = -8 + 24 + 1 = 17$ (локальный максимум).
$f(2) = (2)^3 - 12(2) + 1 = 8 - 24 + 1 = -15$ (локальный минимум).

Уравнение будет иметь ровно три различных корня, если значение параметра $a$ будет находиться строго между значениями локального минимума и локального максимума функции.
Это соответствует двойному неравенству:
$f_{min} < a < f_{max}$
$-15 < a < 17$.

Ответ: $a \in (-15; 17)$.