Номер 60.15, страница 235, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§60. Задачи с параметрами. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 60.15, страница 235.

60.15 При каких значениях $a > 0$:

a) уравнение $(\log_3 a)x^2 - (2\log_3 a - 1)x + \log_3 a - 2 = 0$ имеет единственный корень;

б) уравнение $(\log_4 a)x^2 + (2\log_4 a + 1)x + \log_4 a + 2 = 0$ не имеет корней?

а)

Данное уравнение $(\log_3 a)x^2 - (2\log_3 a - 1)x + \log_3 a - 2 = 0$ является уравнением вида $Ax^2+Bx+C=0$ относительно $x$. Уравнение имеет единственный корень в двух случаях:

1. Если уравнение является линейным, то есть коэффициент при $x^2$ равен нулю, а коэффициент при $x$ не равен нулю.

2. Если уравнение является квадратным, то есть коэффициент при $x^2$ не равен нулю, а его дискриминант равен нулю.

Для удобства введем замену $t = \log_3 a$. Условие $a > 0$ обеспечивает существование логарифма. Уравнение принимает вид:

$tx^2 - (2t - 1)x + (t - 2) = 0$.

Рассмотрим первый случай: уравнение линейное.
Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю, то есть $t = 0$.
$t = \log_3 a = 0$, откуда $a = 3^0 = 1$.
Подставим $t=0$ в уравнение:
$0 \cdot x^2 - (2 \cdot 0 - 1)x + (0 - 2) = 0$
$x - 2 = 0$
$x = 2$.
Уравнение имеет единственный корень, значит, $a = 1$ является решением.

Рассмотрим второй случай: уравнение квадратное с нулевым дискриминантом.
Это происходит при $t \ne 0$ и $D = 0$.
Найдем дискриминант $D$ уравнения $tx^2 - (2t - 1)x + (t - 2) = 0$:
$D = (-(2t - 1))^2 - 4 \cdot t \cdot (t - 2) = (2t - 1)^2 - 4t(t - 2)$
$D = (4t^2 - 4t + 1) - (4t^2 - 8t) = 4t^2 - 4t + 1 - 4t^2 + 8t = 4t + 1$.
Приравняем дискриминант к нулю:
$D = 4t + 1 = 0 \implies 4t = -1 \implies t = -\frac{1}{4}$.
Это значение $t$ не равно нулю, поэтому условие $t \ne 0$ выполнено.
Выполним обратную замену:
$\log_3 a = -\frac{1}{4} \implies a = 3^{-1/4} = \frac{1}{3^{1/4}} = \frac{1}{\sqrt[4]{3}}$.
Это значение $a$ также является решением.

Объединив решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.
Ответ: $a=1, a=\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$.

б)

Уравнение $(\log_4 a)x^2 + (2\log_4 a + 1)x + \log_4 a + 2 = 0$ не имеет корней, если:

1. Это вырожденное линейное уравнение (коэффициент при $x^2$ равен нулю, коэффициент при $x$ равен нулю, а свободный член не равен нулю).

2. Это квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом (коэффициент при $x^2$ не равен нулю, а $D < 0$).

Введем замену $t = \log_4 a$. Уравнение примет вид:
$tx^2 + (2t + 1)x + (t + 2) = 0$.

Рассмотрим случай, когда уравнение линейное:
Это происходит при $t=0$, то есть $\log_4 a = 0$, откуда $a = 4^0 = 1$.
Подставим $t=0$ в уравнение:
$0 \cdot x^2 + (2 \cdot 0 + 1)x + (0 + 2) = 0$
$x + 2 = 0$
$x = -2$.
Уравнение имеет один корень, что не соответствует условию "не имеет корней". Вырожденный случай ($A=0, B=0$) невозможен, так как при $t=0$ коэффициент $B=1 \ne 0$.

Рассмотрим случай, когда уравнение квадратное с отрицательным дискриминантом:
Это происходит при $t \ne 0$ и $D < 0$.
Найдем дискриминант $D$ уравнения $tx^2 + (2t + 1)x + (t + 2) = 0$:
$D = (2t + 1)^2 - 4 \cdot t \cdot (t + 2) = (4t^2 + 4t + 1) - (4t^2 + 8t)$
$D = 4t^2 + 4t + 1 - 4t^2 - 8t = -4t + 1$.
Найдем значения $t$, при которых дискриминант отрицателен:
$D < 0 \implies -4t + 1 < 0 \implies 1 < 4t \implies t > \frac{1}{4}$.
Условие $t \ne 0$ выполнено.
Выполним обратную замену:
$\log_4 a > \frac{1}{4}$.
Так как основание логарифма $4 > 1$, то при потенцировании знак неравенства сохраняется:
$a > 4^{1/4} = (2^2)^{1/4} = 2^{2/4} = 2^{1/2} = \sqrt{2}$.

Итак, уравнение не имеет корней при $a > \sqrt{2}$.
Ответ: $a > \sqrt{2}$.