Номер 60.12, страница 234, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§60. Задачи с параметрами. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 60.12, страница 234.

60.12 Решите неравенство (относительно x):

а) $\sqrt{x - 2(x - a)} \ge 0$

б) $(6 - x)\sqrt{x - a} > 0$

а)

Дано неравенство $\sqrt{x-2(x-a)} \ge 0$.

Функция квадратного корня $\sqrt{y}$ определена при условии, что подкоренное выражение неотрицательно, то есть $y \ge 0$. В области своего определения значение квадратного корня всегда является неотрицательным числом, то есть $\sqrt{y} \ge 0$.

Следовательно, исходное неравенство справедливо для всех значений $x$, при которых оно определено. Чтобы найти эти значения, нужно решить неравенство, в котором подкоренное выражение больше или равно нулю.

Упростим подкоренное выражение:

$x - 2(x-a) = x - 2x + 2a = -x + 2a$

Теперь решим неравенство:

$-x + 2a \ge 0$

Перенесем $x$ в правую часть:

$2a \ge x$

Это можно записать как $x \le 2a$.

Таким образом, решением исходного неравенства является промежуток $(-\infty, 2a]$.

Ответ: $x \in (-\infty, 2a]$.

б)

Дано неравенство $(6-x)\sqrt{x-a} > 0$.

Произведение двух множителей $(6-x)$ и $\sqrt{x-a}$ будет строго положительным, если оба множителя положительны. Множитель $\sqrt{x-a}$ не может быть отрицательным. Для того чтобы произведение было строго больше нуля, он также не может быть равен нулю. Следовательно, оба множителя должны быть строго положительными.

Это приводит к системе из двух неравенств:

$\begin{cases} 6-x > 0 \\ \sqrt{x-a} > 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство в системе:

1. $6-x > 0 \implies 6 > x \implies x < 6$.

2. $\sqrt{x-a} > 0$. Это неравенство равносильно тому, что подкоренное выражение строго положительно: $x-a > 0 \implies x > a$.

Теперь объединим оба условия:

$\begin{cases} x < 6 \\ x > a \end{cases}$

Это соответствует двойному неравенству $a < x < 6$.

Решение зависит от значения параметра $a$. Рассмотрим два случая:

1. Если $a < 6$, то интервал $(a, 6)$ непустой, и решением неравенства является $x \in (a, 6)$.

2. Если $a \ge 6$, то система неравенств $\begin{cases} x < 6 \\ x > a \end{cases}$ не имеет решений, так как не существует числа $x$, которое было бы одновременно меньше 6 и больше либо равно 6. В этом случае множество решений пустое.

Ответ: если $a < 6$, то $x \in (a, 6)$; если $a \ge 6$, то решений нет.