Номер 60.7, страница 234, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§60. Задачи с параметрами. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 60.7, страница 234.

60.7 При каком значении $a$:

а) прямая $y = 6x + a$ касается графика функции $y = x^2$;

б) прямая $y = 4x$ имеет только одну общую точку с графиком функции $y = x^2 + a$?

а)

Чтобы прямая $y = 6x + a$ касалась графика функции $y = x^2$, они должны иметь ровно одну общую точку. Это означает, что уравнение, полученное приравниванием выражений для $y$, должно иметь ровно один корень.

Приравняем правые части уравнений: $x^2 = 6x + a$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $x^2 - 6x - a = 0$

Квадратное уравнение имеет один корень, если его дискриминант $D$ равен нулю. Дискриминант вычисляется по формуле $D = B^2 - 4AC$.

В данном уравнении коэффициенты: $A=1$, $B=-6$, $C=-a$. Найдем дискриминант: $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-a) = 36 + 4a$

Теперь приравняем дискриминант к нулю и найдем $a$:
$36 + 4a = 0$
$4a = -36$
$a = -9$

Ответ: $a = -9$.

б)

Прямая $y = 4x$ имеет только одну общую точку с графиком функции $y = x^2 + a$, если соответствующее квадратное уравнение имеет единственный корень.

Найдем это уравнение, приравняв выражения для $y$: $x^2 + a = 4x$

Приведем уравнение к стандартному виду: $x^2 - 4x + a = 0$

Условием наличия единственного корня является равенство дискриминанта $D$ нулю.

Коэффициенты этого уравнения: $A=1$, $B=-4$, $C=a$. Вычислим дискриминант: $D = B^2 - 4AC = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot a = 16 - 4a$

Приравняем дискриминант к нулю и решим уравнение относительно $a$:
$16 - 4a = 0$
$16 = 4a$
$a = 4$

Ответ: $a = 4$.