Номер 60.2, страница 233, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§60. Задачи с параметрами. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 60.2, страница 233.

60.2 При каких значениях параметра $b$ уравнение $b^2x - x + 2 = b^2 + b$:

a) имеет ровно один корень;

б) не имеет корней;

в) имеет более одного корня?

Данное уравнение $b^2x - x + 2 = b^2 + b$ является линейным относительно переменной $x$. Для анализа количества корней приведем его к стандартному виду $Ax = B$.

Сгруппируем члены, содержащие $x$, в левой части уравнения, а остальные — в правой:

$b^2x - x = b^2 + b - 2$

Вынесем $x$ за скобки в левой части:

$(b^2 - 1)x = b^2 + b - 2$

Количество корней этого уравнения зависит от коэффициента при $x$, который равен $A = b^2 - 1$, и свободного члена в правой части, $B = b^2 + b - 2$.

а) имеет ровно один корень

Линейное уравнение вида $Ax=B$ имеет ровно один корень тогда и только тогда, когда коэффициент при переменной не равен нулю, то есть $A \ne 0$.

В нашем случае это означает:

$b^2 - 1 \ne 0$

Разложив левую часть на множители, получаем:

$(b - 1)(b + 1) \ne 0$

Это неравенство выполняется, когда $b \ne 1$ и $b \ne -1$. При этих значениях $b$ уравнение будет иметь единственный корень $x = \frac{b^2 + b - 2}{b^2 - 1}$.

Ответ: при $b \ne 1$ и $b \ne -1$.

б) не имеет корней

Уравнение не имеет корней, если коэффициент при $x$ равен нулю ($A=0$), а правая часть не равна нулю ($B \ne 0$). В этом случае уравнение принимает вид $0 \cdot x = B$, где $B \ne 0$, что является неверным равенством и не имеет решений.

Найдем значения $b$, при которых $A = 0$:

$b^2 - 1 = 0 \implies b = 1$ или $b = -1$.

Теперь необходимо проверить, при каком из этих значений $b$ правая часть $B = b^2 + b - 2$ не обращается в нуль.

При $b = 1$: $B = 1^2 + 1 - 2 = 1 + 1 - 2 = 0$. Этот случай не подходит, так как $B=0$.

При $b = -1$: $B = (-1)^2 + (-1) - 2 = 1 - 1 - 2 = -2$. Этот случай подходит, так как $B \ne 0$.

Таким образом, при $b = -1$ уравнение принимает вид $0 \cdot x = -2$, которое не имеет корней.

Ответ: при $b = -1$.

в) имеет более одного корня

Уравнение имеет более одного корня (в данном случае, бесконечно много), если и коэффициент при $x$, и правая часть равны нулю ($A=0$ и $B=0$). Тогда уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$, что является верным равенством для любого значения $x$.

Из предыдущего пункта мы знаем, что $A=0$ при $b = 1$ или $b = -1$.

Мы также выяснили, что при $b = 1$ правая часть $B$ также равна нулю: $B = 1^2 + 1 - 2 = 0$.

Следовательно, при $b=1$ оба условия ($A=0$ и $B=0$) выполняются, и уравнение имеет бесконечное множество корней.

Ответ: при $b = 1$.