Номер 59.25, страница 232, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§59. Системы уравнений. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 59.25, страница 232.

59.25 Сумма цифр задуманного трёхзначного числа равна 8, а сумма квадратов его цифр равна 26. Если к задуманному числу прибавить 198, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите задуманное число.

Пусть задуманное трёхзначное число можно представить в виде $\overline{xyz}$, где $x$ — цифра сотен, $y$ — цифра десятков, а $z$ — цифра единиц. Значение этого числа равно $100x + 10y + z$. Поскольку число трёхзначное, цифра сотен $x$ не может быть нулём ($x \in \{1, 2, ..., 9\}$), а $y$ и $z$ — это цифры от 0 до 9 ($y, z \in \{0, 1, ..., 9\}$).

Согласно условиям задачи, составим систему уравнений:

1. Сумма цифр равна 8:
$x + y + z = 8$

2. Сумма квадратов его цифр равна 26:
$x^2 + y^2 + z^2 = 26$

3. Если к задуманному числу прибавить 198, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Число, записанное в обратном порядке, — это $\overline{zyx}$, и его значение равно $100z + 10y + x$.
$(100x + 10y + z) + 198 = 100z + 10y + x$

Начнём с упрощения третьего уравнения:

$100x + 10y + z + 198 = 100z + 10y + x$
Вычтем $10y$ из обеих частей уравнения:
$100x + z + 198 = 100z + x$
Сгруппируем слагаемые с переменными в левой части, а постоянные — в правой:
$100x - x + z - 100z = -198$
$99x - 99z = -198$
Разделим обе части на 99:
$x - z = -2$
Отсюда получаем соотношение между первой и последней цифрами:
$z = x + 2$

Теперь подставим полученное выражение для $z$ в первое уравнение ($x + y + z = 8$):

$x + y + (x + 2) = 8$
$2x + y + 2 = 8$
$2x + y = 6$
Выразим $y$ через $x$:
$y = 6 - 2x$

Теперь у нас есть выражения для $y$ и $z$ через $x$. Подставим их во второе уравнение ($x^2 + y^2 + z^2 = 26$):

$x^2 + (6 - 2x)^2 + (x + 2)^2 = 26$

Раскроем скобки, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы:

$x^2 + (36 - 24x + 4x^2) + (x^2 + 4x + 4) = 26$

Приведём подобные слагаемые:

$(x^2 + 4x^2 + x^2) + (-24x + 4x) + (36 + 4) = 26$
$6x^2 - 20x + 40 = 26$
$6x^2 - 20x + 14 = 0$

Для упрощения разделим всё уравнение на 2:

$3x^2 - 10x + 7 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно заметить, что сумма его коэффициентов равна нулю: $3 - 10 + 7 = 0$. Это означает, что один из корней равен 1.

$x_1 = 1$

Второй корень можно найти по теореме Виета: произведение корней $x_1 \cdot x_2$ равно $c/a$.

$1 \cdot x_2 = \frac{7}{3} \implies x_2 = \frac{7}{3}$

Так как $x$ — это цифра, она должна быть целым числом. Поэтому корень $x = \frac{7}{3}$ не является решением задачи. Единственно возможным значением для первой цифры является $x=1$.

Теперь, зная $x$, найдём значения $y$ и $z$:

$y = 6 - 2x = 6 - 2(1) = 4$
$z = x + 2 = 1 + 2 = 3$

Таким образом, цифры задуманного числа: $x=1$ (сотни), $y=4$ (десятки), $z=3$ (единицы). Задуманное число — 143.

Проведем проверку:

1. Сумма цифр: $1 + 4 + 3 = 8$. Условие выполнено.

2. Сумма квадратов цифр: $1^2 + 4^2 + 3^2 = 1 + 16 + 9 = 26$. Условие выполнено.

3. Прибавление 198: $143 + 198 = 341$. Число 341 — это число 143, записанное в обратном порядке. Условие выполнено.

Все условия задачи соблюдены.

Ответ: 143.