Номер 59.22, страница 232, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§59. Системы уравнений. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 59.22, страница 232.

Решите систему трёх уравнений с тремя переменными:

59.22 а) $\begin{cases}x + 2y - 3z = -3 \\2x - 3y + z = 8 \\-x + y - 5z = -8\end{cases}$

б) $\begin{cases}3x - 5y + z = -13 \\x + 3y - 2z = 5 \\2x - 2y + 5z = -6\end{cases}$

а)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x + 2y - 3z = -3 & (1) \\ 2x - 3y + z = 8 & (2) \\ -x + y - 5z = -8 & (3) \end{cases} $$

Решим систему методом алгебраического сложения (методом исключения). Сложим уравнение (1) и уравнение (3), чтобы исключить переменную $x$: $$ (x + 2y - 3z) + (-x + y - 5z) = -3 + (-8) $$ $$ 3y - 8z = -11 \quad (4) $$

Теперь исключим $x$ из другой пары уравнений. Умножим уравнение (1) на -2 и сложим с уравнением (2): $$ -2(x + 2y - 3z) = -2(-3) \implies -2x - 4y + 6z = 6 $$ Сложим полученное уравнение с уравнением (2): $$ (-2x - 4y + 6z) + (2x - 3y + z) = 6 + 8 $$ $$ -7y + 7z = 14 $$ Разделим обе части на 7: $$ -y + z = 2 \quad (5) $$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными $y$ и $z$: $$ \begin{cases} 3y - 8z = -11 & (4) \\ -y + z = 2 & (5) \end{cases} $$

Из уравнения (5) выразим $z$: $$ z = y + 2 $$

Подставим это выражение для $z$ в уравнение (4): $$ 3y - 8(y + 2) = -11 $$ $$ 3y - 8y - 16 = -11 $$ $$ -5y = -11 + 16 $$ $$ -5y = 5 $$ $$ y = -1 $$

Теперь найдем $z$, подставив значение $y$ в выражение $z = y + 2$: $$ z = -1 + 2 $$ $$ z = 1 $$

Наконец, найдем $x$, подставив значения $y$ и $z$ в уравнение (1): $$ x + 2(-1) - 3(1) = -3 $$ $$ x - 2 - 3 = -3 $$ $$ x - 5 = -3 $$ $$ x = 2 $$

Проверим решение, подставив найденные значения $x=2, y=-1, z=1$ в уравнения (2) и (3):
Уравнение (2): $2(2) - 3(-1) + 1 = 4 + 3 + 1 = 8$. Верно.
Уравнение (3): $-(2) + (-1) - 5(1) = -2 - 1 - 5 = -8$. Верно.

Ответ: $x=2, y=-1, z=1$.

б)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 3x - 5y + z = -13 & (1) \\ x + 3y - 2z = 5 & (2) \\ 2x - 2y + 5z = -6 & (3) \end{cases} $$

Решим систему методом подстановки. Из уравнения (2) выразим переменную $x$: $$ x = 5 - 3y + 2z $$

Подставим это выражение для $x$ в уравнение (1): $$ 3(5 - 3y + 2z) - 5y + z = -13 $$ $$ 15 - 9y + 6z - 5y + z = -13 $$ $$ -14y + 7z = -13 - 15 $$ $$ -14y + 7z = -28 $$ Разделим обе части уравнения на 7: $$ -2y + z = -4 \quad (4) $$

Теперь подставим выражение для $x$ в уравнение (3): $$ 2(5 - 3y + 2z) - 2y + 5z = -6 $$ $$ 10 - 6y + 4z - 2y + 5z = -6 $$ $$ -8y + 9z = -6 - 10 $$ $$ -8y + 9z = -16 \quad (5) $$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными $y$ и $z$: $$ \begin{cases} -2y + z = -4 & (4) \\ -8y + 9z = -16 & (5) \end{cases} $$

Из уравнения (4) выразим $z$: $$ z = 2y - 4 $$

Подставим это выражение для $z$ в уравнение (5): $$ -8y + 9(2y - 4) = -16 $$ $$ -8y + 18y - 36 = -16 $$ $$ 10y = -16 + 36 $$ $$ 10y = 20 $$ $$ y = 2 $$

Теперь найдем $z$, подставив значение $y$ в выражение $z = 2y - 4$: $$ z = 2(2) - 4 $$ $$ z = 4 - 4 $$ $$ z = 0 $$

Наконец, найдем $x$, подставив значения $y=2$ и $z=0$ в выражение для $x$: $$ x = 5 - 3y + 2z = 5 - 3(2) + 2(0) = 5 - 6 = -1 $$

Проверим решение, подставив найденные значения $x=-1, y=2, z=0$ в уравнения (1) и (3):
Уравнение (1): $3(-1) - 5(2) + 0 = -3 - 10 = -13$. Верно.
Уравнение (3): $2(-1) - 2(2) + 5(0) = -2 - 4 + 0 = -6$. Верно.

Ответ: $x=-1, y=2, z=0$.