Номер 59.15, страница 231, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§59. Системы уравнений. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 59.15, страница 231.

59.15 a) $\begin{cases} (2x + y)(x + 3y) = 48, \\ \frac{2x + y}{x + 3y} = \frac{3}{4}; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{x - 3}{y + 2} = 4, \\ (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 17. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} (2x + y)(x + 3y) = 48, \\ \frac{2x + y}{x + 3y} = \frac{3}{4} \end{cases}$

Для решения этой системы удобно использовать метод замены переменных. Пусть $u = 2x + y$ и $v = x + 3y$. Тогда система примет вид:

$\begin{cases} u \cdot v = 48, \\ \frac{u}{v} = \frac{3}{4} \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $u$ через $v$:

$u = \frac{3}{4}v$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$(\frac{3}{4}v) \cdot v = 48$

$\frac{3}{4}v^2 = 48$

$v^2 = 48 \cdot \frac{4}{3}$

$v^2 = 16 \cdot 4 = 64$

Отсюда находим два возможных значения для $v$:

$v_1 = 8$ и $v_2 = -8$.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

Случай 1: $v = 8$.

Найдем соответствующее значение $u$:

$u = \frac{3}{4} \cdot 8 = 6$

Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$. Получаем систему линейных уравнений:

$\begin{cases} 2x + y = 6, \\ x + 3y = 8 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$: $y = 6 - 2x$.

Подставим во второе уравнение:

$x + 3(6 - 2x) = 8$

$x + 18 - 6x = 8$

$-5x = -10$

$x = 2$

Теперь найдем $y$:

$y = 6 - 2(2) = 6 - 4 = 2$

Первое решение: $(2; 2)$.

Случай 2: $v = -8$.

Найдем соответствующее значение $u$:

$u = \frac{3}{4} \cdot (-8) = -6$

Возвращаемся к переменным $x$ и $y$:

$\begin{cases} 2x + y = -6, \\ x + 3y = -8 \end{cases}$

Из первого уравнения: $y = -6 - 2x$.

Подставим во второе уравнение:

$x + 3(-6 - 2x) = -8$

$x - 18 - 6x = -8$

$-5x = 10$

$x = -2$

Теперь найдем $y$:

$y = -6 - 2(-2) = -6 + 4 = -2$

Второе решение: $(-2; -2)$.

Ответ: $(2; 2)$, $(-2; -2)$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \frac{x - 3}{y + 2} = 4, \\ (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 17 \end{cases}$

В этой системе также удобно применить метод замены переменных. Пусть $a = x - 3$ и $b = y + 2$. При этом из первого уравнения следует, что знаменатель не может быть равен нулю: $y + 2 \neq 0$, то есть $y \neq -2$. В новых переменных это означает $b \neq 0$.

Система в новых переменных выглядит так:

$\begin{cases} \frac{a}{b} = 4, \\ a^2 + b^2 = 17 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $a$ через $b$:

$a = 4b$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(4b)^2 + b^2 = 17$

$16b^2 + b^2 = 17$

$17b^2 = 17$

$b^2 = 1$

Отсюда находим два возможных значения для $b$:

$b_1 = 1$ и $b_2 = -1$. Оба значения удовлетворяют условию $b \neq 0$.

Рассмотрим каждый случай.

Случай 1: $b = 1$.

Найдем соответствующее значение $a$:

$a = 4b = 4 \cdot 1 = 4$

Вернемся к исходным переменным $x$ и $y$, решив систему:

$\begin{cases} x - 3 = 4, \\ y + 2 = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 7, \\ y = -1 \end{cases}$

Первое решение: $(7; -1)$.

Случай 2: $b = -1$.

Найдем соответствующее значение $a$:

$a = 4b = 4 \cdot (-1) = -4$

Вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:

$\begin{cases} x - 3 = -4, \\ y + 2 = -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x = -1, \\ y = -3 \end{cases}$

Второе решение: $(-1; -3)$.

Ответ: $(7; -1)$, $(-1; -3)$.