Номер 59.18, страница 231, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§59. Системы уравнений. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 59.18, страница 231.

59.18 a) $\begin{cases} \sqrt{\frac{x + 3y}{y + 5}} + 2 = 3\sqrt{\frac{y + 5}{x + 3y}}, \\ xy + 2x = 13 - 4y; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + 4x - y^2 - 3y = 0, \\ \sqrt{\frac{x + y}{x - y}} + 3\sqrt{\frac{x - y}{x + y}} = 4. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \sqrt{\frac{x + 3y}{y + 5}} + 2 = 3\sqrt{\frac{y + 5}{x + 3y}} \\ xy + 2x = 13 - 4y \end{cases} $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для первого уравнения. Выражения под корнем должны быть неотрицательными, а знаменатели не должны равняться нулю.

$y+5 \neq 0 \implies y \neq -5$

$x+3y \neq 0$

Из этих условий следует, что подкоренное выражение должно быть строго больше нуля: $\frac{x + 3y}{y + 5} > 0$.

Рассмотрим первое уравнение. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{\frac{x + 3y}{y + 5}}$. Так как корень из положительного числа, то $t > 0$.

Уравнение принимает вид:

$t + 2 = \frac{3}{t}$

Умножим обе части на $t$ (так как $t \neq 0$):

$t^2 + 2t = 3$

$t^2 + 2t - 3 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $t$. Его корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -3$.

Поскольку $t > 0$, корень $t = -3$ является посторонним. Таким образом, $t = 1$.

Вернемся к исходным переменным:

$\sqrt{\frac{x + 3y}{y + 5}} = 1$

Возведем обе части в квадрат:

$\frac{x + 3y}{y + 5} = 1 \implies x + 3y = y + 5 \implies x = 5 - 2y$

Теперь подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$xy + 2x + 4y = 13$

$(5 - 2y)y + 2(5 - 2y) + 4y = 13$

$5y - 2y^2 + 10 - 4y + 4y = 13$

$-2y^2 + 5y + 10 = 13$

$2y^2 - 5y + 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение для $y$. Дискриминант $\Delta = (-5)^2 - 4(2)(3) = 25 - 24 = 1$.

$y_1 = \frac{5 - \sqrt{1}}{4} = \frac{4}{4} = 1$

$y_2 = \frac{5 + \sqrt{1}}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

Найдем соответствующие значения $x$, используя формулу $x = 5 - 2y$:

При $y_1 = 1$: $x_1 = 5 - 2(1) = 3$. Получили решение $(3, 1)$.

При $y_2 = 3/2$: $x_2 = 5 - 2(\frac{3}{2}) = 5 - 3 = 2$. Получили решение $(2, 3/2)$.

Проверим найденные решения на соответствие ОДЗ.

Для пары $(3, 1)$: $\frac{3 + 3(1)}{1 + 5} = \frac{6}{6} = 1 > 0$. Решение подходит.

Для пары $(2, 3/2)$: $\frac{2 + 3(3/2)}{3/2 + 5} = \frac{2 + 9/2}{13/2} = \frac{13/2}{13/2} = 1 > 0$. Решение подходит.

Ответ: $(3, 1)$, $(2, 3/2)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + 4x - y^2 - 3y = 0 \\ \sqrt{\frac{x + y}{x - y}} + 3\sqrt{\frac{x - y}{x + y}} = 4 \end{cases} $

Начнем со второго уравнения. ОДЗ: $\frac{x + y}{x - y} > 0$. Это означает, что $x+y$ и $x-y$ должны быть одного знака и не равны нулю.

Сделаем замену: пусть $t = \sqrt{\frac{x + y}{x - y}}$. Тогда $t > 0$.

Уравнение примет вид:

$t + \frac{3}{t} = 4$

$t^2 - 4t + 3 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$. Оба корня положительны и подходят.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $t = 1$.

$\sqrt{\frac{x + y}{x - y}} = 1 \implies \frac{x + y}{x - y} = 1 \implies x + y = x - y \implies 2y = 0 \implies y = 0$.

Подставим $y = 0$ в первое уравнение системы:

$x^2 + 4x - 0^2 - 3(0) = 0 \implies x^2 + 4x = 0 \implies x(x + 4) = 0$.

Отсюда $x = 0$ или $x = -4$.

Получаем две возможные пары: $(0, 0)$ и $(-4, 0)$.

Проверим по ОДЗ:

Для $(0, 0)$: $\frac{0+0}{0-0}$ - выражение не определено. Решение постороннее.

Для $(-4, 0)$: $\frac{-4+0}{-4-0} = \frac{-4}{-4} = 1 > 0$. Решение подходит.

Случай 2: $t = 3$.

$\sqrt{\frac{x + y}{x - y}} = 3 \implies \frac{x + y}{x - y} = 9 \implies x + y = 9(x - y) \implies x + y = 9x - 9y \implies 10y = 8x \implies y = \frac{4}{5}x$.

Подставим $y = \frac{4}{5}x$ в первое уравнение:

$x^2 + 4x - (\frac{4}{5}x)^2 - 3(\frac{4}{5}x) = 0$

$x^2 + 4x - \frac{16}{25}x^2 - \frac{12}{5}x = 0$

Умножим на 25: $25x^2 + 100x - 16x^2 - 60x = 0$.

$9x^2 + 40x = 0 \implies x(9x + 40) = 0$.

Отсюда $x = 0$ или $x = -\frac{40}{9}$.

Если $x = 0$, то $y = \frac{4}{5}(0) = 0$. Получаем пару $(0, 0)$, которая является посторонней.

Если $x = -\frac{40}{9}$, то $y = \frac{4}{5}(-\frac{40}{9}) = -\frac{32}{9}$. Получаем пару $(-\frac{40}{9}, -\frac{32}{9})$.

Проверим по ОДЗ: $\frac{x+y}{x-y} = \frac{-40/9 - 32/9}{-40/9 - (-32/9)} = \frac{-72/9}{-8/9} = 9 > 0$. Решение подходит.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем два решения.

Ответ: $(-4, 0)$, $(-\frac{40}{9}, -\frac{32}{9})$.