Номер 59.24, страница 232, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§59. Системы уравнений. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 59.24, страница 232.

59.24 Составьте уравнение параболы $y = ax^2 + bx + c$, если известно, что она проходит через точки M, P, Q:

a) M(1; -2), P(-1; 8), Q(2; -1);

б) M(-1; 6), P(2; 9), Q(1; 2).

а)

Чтобы найти уравнение параболы вида $y = ax^2 + bx + c$, необходимо найти коэффициенты $a$, $b$ и $c$. Поскольку парабола проходит через точки M(1; −2), P(−1; 8) и Q(2; −1), координаты этих точек должны удовлетворять уравнению параболы. Подставим координаты каждой точки в уравнение, чтобы получить систему из трех линейных уравнений.

Для точки M(1; −2):

$-2 = a(1)^2 + b(1) + c \implies a + b + c = -2$ (1)

Для точки P(−1; 8):

$8 = a(-1)^2 + b(-1) + c \implies a - b + c = 8$ (2)

Для точки Q(2; −1):

$-1 = a(2)^2 + b(2) + c \implies 4a + 2b + c = -1$ (3)

Получаем систему уравнений:

$ \begin{cases} a + b + c = -2 \\ a - b + c = 8 \\ 4a + 2b + c = -1 \end{cases} $

Для решения системы вычтем уравнение (1) из уравнения (2):

$(a - b + c) - (a + b + c) = 8 - (-2)$

$-2b = 10$

$b = -5$

Теперь подставим найденное значение $b = -5$ в уравнения (1) и (3):

$ \begin{cases} a + (-5) + c = -2 \\ 4a + 2(-5) + c = -1 \end{cases} $

Упростим систему:

$ \begin{cases} a + c = 3 \\ 4a + c = 9 \end{cases} $

Вычтем первое уравнение новой системы из второго:

$(4a + c) - (a + c) = 9 - 3$

$3a = 6$

$a = 2$

Подставим значение $a = 2$ в уравнение $a + c = 3$:

$2 + c = 3$

$c = 1$

Мы нашли все коэффициенты: $a = 2$, $b = -5$, $c = 1$. Следовательно, искомое уравнение параболы:

$y = 2x^2 - 5x + 1$

Ответ: $y = 2x^2 - 5x + 1$.

б)

Аналогично, подставим координаты точек M(−1; 6), P(2; 9) и Q(1; 2) в уравнение $y = ax^2 + bx + c$.

Для точки M(−1; 6):

$6 = a(-1)^2 + b(-1) + c \implies a - b + c = 6$ (1)

Для точки P(2; 9):

$9 = a(2)^2 + b(2) + c \implies 4a + 2b + c = 9$ (2)

Для точки Q(1; 2):

$2 = a(1)^2 + b(1) + c \implies a + b + c = 2$ (3)

Получаем систему уравнений:

$ \begin{cases} a - b + c = 6 \\ 4a + 2b + c = 9 \\ a + b + c = 2 \end{cases} $

Вычтем уравнение (3) из уравнения (1):

$(a - b + c) - (a + b + c) = 6 - 2$

$-2b = 4$

$b = -2$

Подставим значение $b = -2$ в уравнения (3) и (2):

$ \begin{cases} a + (-2) + c = 2 \\ 4a + 2(-2) + c = 9 \end{cases} $

Упростим систему:

$ \begin{cases} a + c = 4 \\ 4a + c = 13 \end{cases} $

Вычтем первое уравнение новой системы из второго:

$(4a + c) - (a + c) = 13 - 4$

$3a = 9$

$a = 3$

Подставим значение $a = 3$ в уравнение $a + c = 4$:

$3 + c = 4$

$c = 1$

Мы нашли все коэффициенты: $a = 3$, $b = -2$, $c = 1$. Следовательно, искомое уравнение параболы:

$y = 3x^2 - 2x + 1$

Ответ: $y = 3x^2 - 2x + 1$.