Номер 59.27, страница 233, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§59. Системы уравнений. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 59.27, страница 233.

59.27 Три бригады, работая вместе, выполняют норму по изготовлению подшипников за некоторое время. Если бы первые две бригады работали в 2 раза медленнее, а третья бригада — в 4 раза быстрее, чем обычно, то норма была бы выполнена за то же время. Известно, что первая и вторая бригады при совместной работе выполняют норму в 2 раза быстрее, чем вторая бригада совместно с третьей. Во сколько раз первая бригада производит подшипников за 1 ч больше, чем третья?

Для решения задачи введем переменные, обозначающие производительность каждой бригады. Пусть $x$ — производительность первой бригады (количество подшипников в час), $y$ — производительность второй бригады, а $z$ — производительность третьей бригады.

Согласно первому условию, три бригады, работая вместе, выполняют норму за некоторое время $t$. Их общая производительность составляет $x+y+z$. Объем работы (норма) равен произведению общей производительности на время: $A = (x+y+z) \cdot t$.

Далее, рассмотрим второе условие: если бы первые две бригады работали в 2 раза медленнее (их производительности стали бы $\frac{x}{2}$ и $\frac{y}{2}$), а третья в 4 раза быстрее (ее производительность стала бы $4z$), то норма была бы выполнена за то же время $t$. Новая общая производительность составила бы $\frac{x}{2} + \frac{y}{2} + 4z$. Тогда объем работы $A = (\frac{x}{2} + \frac{y}{2} + 4z) \cdot t$.

Поскольку объем работы $A$ и время $t$ в обоих сценариях одинаковы, мы можем приравнять общие производительности:

$x + y + z = \frac{x}{2} + \frac{y}{2} + 4z$

Перенесем слагаемые с $x$ и $y$ в левую часть, а с $z$ — в правую:

$x - \frac{x}{2} + y - \frac{y}{2} = 4z - z$

$\frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 3z$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей:

$x + y = 6z$

Это наше первое уравнение.

Теперь рассмотрим третье условие: первая и вторая бригады при совместной работе выполняют норму в 2 раза быстрее, чем вторая бригада совместно с третьей. Работать в 2 раза быстрее означает тратить в 2 раза меньше времени. Время выполнения работы обратно пропорционально производительности.

Производительность первой и второй бригад вместе: $x+y$.

Производительность второй и третьей бригад вместе: $y+z$.

Из условия следует, что производительность первой и второй бригад в 2 раза выше производительности второй и третьей бригад:

$x+y = 2 \cdot (y+z)$

$x+y = 2y + 2z$

Перенесем $y$ вправо:

$x = y + 2z$

$x - y = 2z$

Это наше второе уравнение.

Теперь у нас есть система из двух уравнений с тремя переменными:

$\begin{cases} x + y = 6z \\ x - y = 2z \end{cases}$

Для нахождения соотношения между $x$ и $z$ сложим эти два уравнения:

$(x+y) + (x-y) = 6z + 2z$

$2x = 8z$

$x = 4z$

Вопрос задачи состоит в том, во сколько раз первая бригада производит подшипников за 1 час больше, чем третья. Это эквивалентно нахождению отношения их производительностей $\frac{x}{z}$.

Из полученного равенства $x=4z$ находим это отношение:

$\frac{x}{z} = 4$

Таким образом, первая бригада производит в 4 раза больше подшипников в час, чем третья.

Ответ: в 4 раза.