Номер 59.21, страница 232, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§59. Системы уравнений. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 59.21, страница 232.

59.21 a) $\begin{cases} \sin x + \cos y = 0, \\ \sin^2 x + \cos^2 y = \frac{1}{2}; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \cos x + \cos y = 0,5, \\ \sin^2 x + \sin^2 y = 1,75. \end{cases}$

а)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} \sin x + \cos y = 0, \\ \sin^2 x + \cos^2 y = \frac{1}{2} \end{cases} $

Введем замену переменных: пусть $u = \sin x$ и $v = \cos y$. Тогда система примет вид:

$ \begin{cases} u + v = 0, \\ u^2 + v^2 = \frac{1}{2} \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $u$: $u = -v$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(-v)^2 + v^2 = \frac{1}{2}$

$v^2 + v^2 = \frac{1}{2}$

$2v^2 = \frac{1}{2}$

$v^2 = \frac{1}{4}$

Отсюда получаем два возможных значения для $v$: $v = \frac{1}{2}$ или $v = -\frac{1}{2}$.

Найдем соответствующие значения для $u$, используя $u = -v$:

1. Если $v = \frac{1}{2}$, то $u = -\frac{1}{2}$.

2. Если $v = -\frac{1}{2}$, то $u = \frac{1}{2}$.

Теперь вернемся к исходным переменным. Мы имеем две системы для нахождения $x$ и $y$.

Случай 1: $\sin x = -\frac{1}{2}$ и $\cos y = \frac{1}{2}$.

Решения этих уравнений:

$x = (-1)^k \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi k = (-1)^k (-\frac{\pi}{6}) + \pi k = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$y = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi n = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: $\sin x = \frac{1}{2}$ и $\cos y = -\frac{1}{2}$.

Решения этих уравнений:

$x = (-1)^k \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi k = (-1)^k\frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$y = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\left( (-1)^{k+1}\frac{\pi}{6} + \pi k, \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n \right)$, $\left( (-1)^k\frac{\pi}{6} + \pi k, \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \right)$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

б)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} \cos x + \cos y = 0,5, \\ \sin^2 x + \sin^2 y = 1,75 \end{cases} $

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$ для преобразования второго уравнения:

$(1 - \cos^2 x) + (1 - \cos^2 y) = 1,75$

$2 - (\cos^2 x + \cos^2 y) = 1,75$

$\cos^2 x + \cos^2 y = 2 - 1,75$

$\cos^2 x + \cos^2 y = 0,25$

Теперь система выглядит так:

$ \begin{cases} \cos x + \cos y = 0,5, \\ \cos^2 x + \cos^2 y = 0,25 \end{cases} $

Введем замену переменных: пусть $u = \cos x$ и $v = \cos y$. Тогда система примет вид:

$ \begin{cases} u + v = 0,5, \\ u^2 + v^2 = 0,25 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $v$: $v = 0,5 - u$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$u^2 + (0,5 - u)^2 = 0,25$

$u^2 + 0,25 - u + u^2 = 0,25$

$2u^2 - u = 0$

$u(2u - 1) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $u$: $u = 0$ или $u = 0,5$.

Найдем соответствующие значения для $v$, используя $v = 0,5 - u$:

1. Если $u = 0$, то $v = 0,5$.

2. Если $u = 0,5$, то $v = 0$.

Теперь вернемся к исходным переменным. Мы имеем две симметричные системы.

Случай 1: $\cos x = 0$ и $\cos y = 0,5$.

Решения этих уравнений:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$y = \pm \arccos(0,5) + 2\pi n = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: $\cos x = 0,5$ и $\cos y = 0$.

Решения этих уравнений:

$x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$y = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\left( \frac{\pi}{2} + \pi k, \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n \right)$, $\left( \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi n \right)$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.