Номер 59.19, страница 232, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§59. Системы уравнений. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 59.19, страница 232.

59.19 a) $ \begin{cases} 2^x \cdot 0,25^{-y} = 512, \\ \sqrt{x} + 2\sqrt{y} = 5; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 9^x \cdot 3^{y-3} = 729, \\ \sqrt{x} - \sqrt{y} = 1. \end{cases} $

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 2^x \cdot 0,25^{-y} = 512, \\ \sqrt{x} + 2\sqrt{y} = 5; \end{cases}$

Определим область допустимых значений: $x \ge 0, y \ge 0$.

Преобразуем первое уравнение. Представим числа $0,25$ и $512$ в виде степеней с основанием 2:

$0,25 = \frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$

$512 = 2^9$

Подставим эти значения в первое уравнение:

$2^x \cdot (2^{-2})^{-y} = 2^9$

$2^x \cdot 2^{2y} = 2^9$

Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем:

$2^{x+2y} = 2^9$

Так как основания степеней равны, можем приравнять их показатели:

$x+2y=9$

Теперь система уравнений имеет вид:

$\begin{cases} x+2y=9, \\ \sqrt{x} + 2\sqrt{y} = 5; \end{cases}$

Для решения этой системы введем новые переменные. Пусть $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt{y}$. Учитывая ОДЗ, $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

Тогда $x = a^2$ и $y = b^2$. Подставим это в систему:

$\begin{cases} a^2+2b^2=9, \\ a + 2b = 5; \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $a$: $a = 5 - 2b$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$(5-2b)^2 + 2b^2 = 9$

$25 - 20b + 4b^2 + 2b^2 = 9$

$6b^2 - 20b + 25 - 9 = 0$

$6b^2 - 20b + 16 = 0$

Разделим уравнение на 2 для упрощения:

$3b^2 - 10b + 8 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 100 - 96 = 4$.

$b_{1,2} = \frac{10 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{10 \pm 2}{6}$

$b_1 = \frac{12}{6} = 2$

$b_2 = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

Оба значения для $b$ неотрицательны, поэтому оба подходят. Найдем соответствующие значения $a$ для каждого $b$.

1. Если $b=2$:

$a = 5 - 2(2) = 1$.

Теперь вернемся к переменным $x$ и $y$:

$x = a^2 = 1^2 = 1$

$y = b^2 = 2^2 = 4$

Получили первую пару решений $(1, 4)$.

2. Если $b=\frac{4}{3}$:

$a = 5 - 2(\frac{4}{3}) = 5 - \frac{8}{3} = \frac{15-8}{3} = \frac{7}{3}$.

Теперь вернемся к переменным $x$ и $y$:

$x = a^2 = (\frac{7}{3})^2 = \frac{49}{9}$

$y = b^2 = (\frac{4}{3})^2 = \frac{16}{9}$

Получили вторую пару решений $(\frac{49}{9}, \frac{16}{9})$.

Проверка подтверждает, что обе пары являются решениями системы.

Ответ: $(1, 4), (\frac{49}{9}, \frac{16}{9})$.

---

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 9^x \cdot 3^{y-3} = 729, \\ \sqrt{x} - \sqrt{y} = 1; \end{cases}$

Определим область допустимых значений: $x \ge 0, y \ge 0$. Из второго уравнения $\sqrt{x} = 1 + \sqrt{y}$, следует что $\sqrt{x} \ge 1$, то есть $x \ge 1$.

Преобразуем первое уравнение. Представим числа $9$ и $729$ в виде степеней с основанием 3:

$9 = 3^2$

$729 = 3^6$

Подставим эти значения в первое уравнение:

$(3^2)^x \cdot 3^{y-3} = 3^6$

$3^{2x} \cdot 3^{y-3} = 3^6$

Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем:

$3^{2x+y-3} = 3^6$

Так как основания степеней равны, можем приравнять их показатели:

$2x+y-3=6$

$2x+y=9$

Теперь система уравнений имеет вид:

$\begin{cases} 2x+y=9, \\ \sqrt{x} - \sqrt{y} = 1; \end{cases}$

Введем новые переменные. Пусть $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt{y}$. Учитывая ОДЗ, $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

Тогда $x = a^2$ и $y = b^2$. Подставим это в систему:

$\begin{cases} 2a^2+b^2=9, \\ a - b = 1; \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $a$: $a = 1 + b$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$2(1+b)^2 + b^2 = 9$

$2(1 + 2b + b^2) + b^2 = 9$

$2 + 4b + 2b^2 + b^2 = 9$

$3b^2 + 4b + 2 - 9 = 0$

$3b^2 + 4b - 7 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7) = 16 + 84 = 100$.

$b_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 \pm 10}{6}$

$b_1 = \frac{6}{6} = 1$

$b_2 = \frac{-14}{6} = -\frac{7}{3}$

Так как $b = \sqrt{y}$, значение $b$ не может быть отрицательным. Поэтому $b_2 = -\frac{7}{3}$ является посторонним корнем. Остается единственное решение $b=1$.

Найдем соответствующее значение $a$:

$a = 1 + b = 1 + 1 = 2$.

Теперь вернемся к переменным $x$ и $y$:

$x = a^2 = 2^2 = 4$

$y = b^2 = 1^2 = 1$

Получили решение $(4, 1)$. Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x=4 \ge 1, y=1 \ge 0$).

Ответ: $(4, 1)$.