Номер 60.11, страница 234, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§60. Задачи с параметрами. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 60.11, страница 234.

60.11 При каких значениях $a$:

a) ось симметрии параболы $y = 2x^2 - 3ax + 2$ пересекает ось абсцисс левее точки $(-3; 0)$;

б) ось симметрии параболы $y = 5x^2 - 2ax + 2$ пересекает ось абсцисс правее точки $(4; 0)$?

а)

Осью симметрии параболы, заданной уравнением вида $y = Ax^2 + Bx + C$, является вертикальная прямая $x = x_0$, где $x_0$ — это абсцисса вершины параболы. Она вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{B}{2A}$.

Для параболы $y = 2x^2 - 3ax + 2$ коэффициенты равны $A=2$ и $B=-3a$. Найдем уравнение оси симметрии: $x_0 = -\frac{-3a}{2 \cdot 2} = \frac{3a}{4}$.

По условию задачи, ось симметрии пересекает ось абсцисс левее точки $(-3; 0)$. Это означает, что абсцисса оси симметрии должна быть строго меньше -3. Составим и решим неравенство:

$\frac{3a}{4} < -3$

Умножим обе части неравенства на 4 (знак неравенства не меняется): $3a < -12$

Разделим обе части на 3: $a < -4$

Следовательно, условие выполняется при всех значениях $a$ из интервала $(-\infty; -4)$.

Ответ: $a \in (-\infty; -4)$.

б)

Рассмотрим параболу $y = 5x^2 - 2ax + 2$. Здесь коэффициенты $A=5$ и $B=-2a$. Найдем абсциссу ее вершины $x_0$, которая определяет положение оси симметрии: $x_0 = -\frac{B}{2A} = -\frac{-2a}{2 \cdot 5} = \frac{2a}{10} = \frac{a}{5}$.

По условию, ось симметрии пересекает ось абсцисс правее точки $(4; 0)$. Это значит, что абсцисса $x_0$ должна быть строго больше 4. Составим и решим соответствующее неравенство:

$\frac{a}{5} > 4$

Умножим обе части неравенства на 5: $a > 20$

Следовательно, условие выполняется при всех значениях $a$ из интервала $(20; +\infty)$.

Ответ: $a \in (20; +\infty)$.