Номер 49.28, страница 199, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§49. Определённый интеграл. Глава 8. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 49.28, страница 199.

4 Используя геометрические соображения, вычислите интеграл:

49.28 a) $\int_{0}^{4} \sqrt{16 - x^2} dx$;

б) $\int_{-5}^{0} \sqrt{25 - x^2} dx$.

а)

Данный интеграл $ \int_0^4 \sqrt{16 - x^2} dx $ с геометрической точки зрения представляет собой площадь фигуры, ограниченной графиком функции $ y = \sqrt{16 - x^2} $, осью абсцисс $ Ox $, и прямыми $ x=0 $ и $ x=4 $.

Рассмотрим уравнение кривой $ y = \sqrt{16 - x^2} $. Поскольку по определению арифметического квадратного корня $ y \ge 0 $, мы можем возвести обе части уравнения в квадрат: $ y^2 = 16 - x^2 $. Перенеся $ x^2 $ в левую часть, получим каноническое уравнение окружности: $ x^2 + y^2 = 16 $.

Это уравнение описывает окружность с центром в начале координат $ (0, 0) $ и радиусом $ R = \sqrt{16} = 4 $. Условие $ y \ge 0 $ означает, что мы рассматриваем только верхнюю полуокружность.

Пределы интегрирования от $ x=0 $ до $ x=4 $ соответствуют части этой полуокружности, которая находится в первой координатной четверти. Таким образом, искомая площадь — это площадь четверти круга радиусом 4.

Площадь всего круга вычисляется по формуле $ S_{круга} = \pi R^2 $. Следовательно, площадь четверти круга равна:
$ S = \frac{1}{4} S_{круга} = \frac{1}{4} \pi R^2 = \frac{1}{4} \pi (4)^2 = \frac{16\pi}{4} = 4\pi $.

Ответ: $4\pi$.

б)

Аналогично предыдущему пункту, интеграл $ \int_{-5}^0 \sqrt{25 - x^2} dx $ представляет собой площадь фигуры, ограниченной графиком функции $ y = \sqrt{25 - x^2} $, осью $ Ox $ и прямыми $ x=-5 $ и $ x=0 $.

Функция $ y = \sqrt{25 - x^2} $ задает верхнюю половину ($y \ge 0$) окружности. Возведем в квадрат обе части: $ y^2 = 25 - x^2 $, что эквивалентно $ x^2 + y^2 = 25 $.

Это уравнение окружности с центром в начале координат $ (0, 0) $ и радиусом $ R = \sqrt{25} = 5 $.

Пределы интегрирования от $ x=-5 $ до $ x=0 $ означают, что мы ищем площадь части верхней полуокружности, расположенной во второй координатной четверти. Эта фигура также является четвертью круга, но с радиусом $R=5$.

Вычислим площадь этой четверти круга:
$ S = \frac{1}{4} \pi R^2 = \frac{1}{4} \pi (5)^2 = \frac{25\pi}{4} $.

Ответ: $\frac{25\pi}{4}$.