Номер 49.25, страница 199, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§49. Определённый интеграл. Глава 8. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 49.25, страница 199.

49.25 a) $y = x^2 - 6x + 9$, $y = (x + 1)(3 - x)$;

б) $y = x^2 - 4x + 3$, $y = -x^2 + 6x - 5$.

а)

Для нахождения точек пересечения графиков функций $y = x^2 - 6x + 9$ и $y = (x + 1)(3 - x)$ необходимо приравнять их правые части, так как в точках пересечения значения $y$ и $x$ у обеих функций совпадают.

Сначала раскроем скобки во втором уравнении:

$y = (x + 1)(3 - x) = 3x - x^2 + 3 - x = -x^2 + 2x + 3$

Теперь приравняем выражения для $y$:

$x^2 - 6x + 9 = -x^2 + 2x + 3$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 6x + 9 + x^2 - 2x - 3 = 0$

$2x^2 - 8x + 6 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 2:

$x^2 - 4x + 3 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение можно решить, например, по теореме Виета. Сумма корней $x_1 + x_2 = 4$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 3$. Отсюда находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.

Теперь, чтобы найти ординаты (координаты $y$) точек пересечения, подставим полученные значения $x$ в любое из исходных уравнений. Возьмем первое уравнение в виде полного квадрата: $y = x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$.

Для $x_1 = 1$:

$y_1 = (1 - 3)^2 = (-2)^2 = 4$

Таким образом, первая точка пересечения имеет координаты $(1, 4)$.

Для $x_2 = 3$:

$y_2 = (3 - 3)^2 = 0^2 = 0$

Таким образом, вторая точка пересечения имеет координаты $(3, 0)$.

Ответ: $(1, 4)$, $(3, 0)$.

б)

Для нахождения точек пересечения графиков функций $y = x^2 - 4x + 3$ и $y = -x^2 + 6x - 5$ приравняем их правые части:

$x^2 - 4x + 3 = -x^2 + 6x - 5$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы привести уравнение к стандартному виду:

$x^2 - 4x + 3 + x^2 - 6x + 5 = 0$

$2x^2 - 10x + 8 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:

$x^2 - 5x + 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 5$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 4$. Отсюда находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив полученные значения $x$ в первое уравнение $y = x^2 - 4x + 3$.

Для $x_1 = 1$:

$y_1 = 1^2 - 4(1) + 3 = 1 - 4 + 3 = 0$

Первая точка пересечения: $(1, 0)$.

Для $x_2 = 4$:

$y_2 = 4^2 - 4(4) + 3 = 16 - 16 + 3 = 3$

Вторая точка пересечения: $(4, 3)$.

Ответ: $(1, 0)$, $(4, 3)$.