Номер 49.20, страница 199, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§49. Определённый интеграл. Глава 8. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 49.20, страница 199.

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

49.20 a) $y = \sqrt{x}, y = -2\sqrt{x}, x = 4;$

б) $y = 2\sqrt{x}, y = -\sqrt{x}, x = 9.$

a)

Для вычисления площади фигуры, ограниченной заданными линиями, используется определенный интеграл. Фигура ограничена сверху графиком функции $y_1 = \sqrt{x}$ и снизу графиком функции $y_2 = -2\sqrt{x}$. Область интегрирования по оси $x$ определяется точкой пересечения этих кривых и вертикальной линией $x=4$.

1. Найдем точку пересечения кривых, чтобы определить левую границу интегрирования:
$\sqrt{x} = -2\sqrt{x}$
$3\sqrt{x} = 0$
$x = 0$

2. Правая граница интегрирования задана условием: $x = 4$.

3. Площадь $S$ фигуры вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций в найденных пределах:
$S = \int_{0}^{4} (y_1 - y_2) dx = \int_{0}^{4} (\sqrt{x} - (-2\sqrt{x})) dx = \int_{0}^{4} (\sqrt{x} + 2\sqrt{x}) dx = \int_{0}^{4} 3\sqrt{x} dx$.

4. Вычислим интеграл. Для этого найдем первообразную функции $f(x) = 3\sqrt{x} = 3x^{1/2}$.
$\int 3x^{1/2} dx = 3 \cdot \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} + C = 3 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} + C = 2x^{3/2} + C$.

5. Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$S = \left[ 2x^{3/2} \right]_{0}^{4} = 2 \cdot 4^{3/2} - 2 \cdot 0^{3/2} = 2 \cdot (\sqrt{4})^3 - 0 = 2 \cdot 2^3 = 2 \cdot 8 = 16$.

Ответ: $16$.

б)

Аналогично, вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями $y_1 = 2\sqrt{x}$, $y_2 = -\sqrt{x}$ и $x=9$. Фигура ограничена сверху функцией $y_1 = 2\sqrt{x}$ и снизу функцией $y_2 = -\sqrt{x}$.

1. Найдем левую границу интегрирования из условия пересечения кривых:
$2\sqrt{x} = -\sqrt{x}$
$3\sqrt{x} = 0$
$x = 0$

2. Правая граница интегрирования задана линией $x = 9$.

3. Площадь $S$ фигуры равна:
$S = \int_{0}^{9} (y_1 - y_2) dx = \int_{0}^{9} (2\sqrt{x} - (-\sqrt{x})) dx = \int_{0}^{9} (2\sqrt{x} + \sqrt{x}) dx = \int_{0}^{9} 3\sqrt{x} dx$.

4. Используем первообразную, найденную в предыдущем пункте: $F(x) = 2x^{3/2}$.

5. Вычислим определенный интеграл:
$S = \left[ 2x^{3/2} \right]_{0}^{9} = 2 \cdot 9^{3/2} - 2 \cdot 0^{3/2} = 2 \cdot (\sqrt{9})^3 - 0 = 2 \cdot 3^3 = 2 \cdot 27 = 54$.

Ответ: $54$.