Номер 49.14, страница 197, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§49. Определённый интеграл. Глава 8. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 49.14, страница 197.

49.14 a) $y = \sin x, y = 0, x = \frac{\pi}{2}$;

б) $y = \cos 2x, y = 0, x = -\frac{\pi}{6}, x = \frac{\pi}{6}$;

в) $y = \cos x, y = 0, x = -\frac{\pi}{4}, x = \frac{\pi}{4}$;

г) $y = \sin \frac{x}{2}, y = 0, x = \frac{\pi}{2}, x = \pi$.

а) $y = \sin x, y = 0, x = \frac{\pi}{2}$;

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиком функции $y = f(x)$, осью абсцисс ($y=0$), и вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$, используется формула определенного интеграла $S = \int_a^b |f(x)| \,dx$.

В данном случае фигура ограничена кривой $y = \sin x$, осью $y=0$ и прямой $x = \frac{\pi}{2}$. Нижний предел интегрирования найдем из условия пересечения $y = \sin x$ с осью $y=0$, т.е. $\sin x = 0$. Ближайшее к $x=\frac{\pi}{2}$ значение, при котором начинается фигура, это $x=0$. Таким образом, интегрирование производится по отрезку $[0, \frac{\pi}{2}]$.

На отрезке $[0, \frac{\pi}{2}]$ функция $y=\sin x$ неотрицательна ($\sin x \geq 0$), поэтому модуль можно опустить.

Вычисляем площадь:

$S = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \,dx = [-\cos x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = -(\cos \frac{\pi}{2} - \cos 0) = -(0 - 1) = 1$.

Ответ: $1$.

б) $y = \cos 2x, y = 0, x = -\frac{\pi}{6}, x = \frac{\pi}{6}$;

Фигура ограничена кривой $y = \cos 2x$, осью $y=0$ и прямыми $x = -\frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{\pi}{6}$. Пределы интегрирования заданы: от $a=-\frac{\pi}{6}$ до $b=\frac{\pi}{6}$.

Проверим знак функции на отрезке $[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}]$. Если $x$ изменяется от $-\frac{\pi}{6}$ до $\frac{\pi}{6}$, то аргумент $2x$ изменяется от $-\frac{\pi}{3}$ до $\frac{\pi}{3}$. В этом интервале $\cos(2x) \geq 0$, поэтому модуль не требуется.

Вычисляем площадь:

$S = \int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} \cos 2x \,dx$.

Так как $y = \cos 2x$ — четная функция, а отрезок интегрирования симметричен относительно нуля, можно записать:

$S = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos 2x \,dx = 2 \left[\frac{1}{2}\sin 2x\right]_{0}^{\frac{\pi}{6}} = [\sin 2x]_{0}^{\frac{\pi}{6}} = \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{6}\right) - \sin(0) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) - 0 = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

в) $y = \cos x, y = 0, x = -\frac{\pi}{4}, x = \frac{\pi}{4}$;

Фигура ограничена кривой $y = \cos x$, осью $y=0$ и прямыми $x = -\frac{\pi}{4}$ и $x = \frac{\pi}{4}$. Пределы интегрирования: от $a=-\frac{\pi}{4}$ до $b=\frac{\pi}{4}$.

На отрезке $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$ функция $y = \cos x$ неотрицательна ($\cos x \geq 0$).

Вычисляем площадь:

$S = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \cos x \,dx$.

Функция $y=\cos x$ является четной, а отрезок интегрирования симметричен относительно нуля, поэтому:

$S = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos x \,dx = 2[\sin x]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = 2\left(\sin\frac{\pi}{4} - \sin 0\right) = 2\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - 0\right) = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$.

г) $y = \sin \frac{x}{2}, y = 0, x = \frac{\pi}{2}, x = \pi$.

Фигура ограничена кривой $y = \sin \frac{x}{2}$, осью $y=0$ и прямыми $x = \frac{\pi}{2}$ и $x = \pi$. Пределы интегрирования заданы: от $a=\frac{\pi}{2}$ до $b=\pi$.

Проверим знак функции на отрезке $[\frac{\pi}{2}, \pi]$. Если $x$ изменяется от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$, то аргумент $\frac{x}{2}$ изменяется от $\frac{\pi}{4}$ до $\frac{\pi}{2}$. В этом интервале $\sin(\frac{x}{2}) \geq 0$.

Вычисляем площадь:

$S = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin \frac{x}{2} \,dx = \left[-2\cos \frac{x}{2}\right]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = -2\left(\cos\frac{\pi}{2} - \cos\frac{\pi}{4}\right) = -2\left(0 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$.