Номер 49.10, страница 197, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§49. Определённый интеграл. Глава 8. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 49.10, страница 197.

49.10 Вычислите $\int_{-2}^{3} f(x)dx$, если график функции $y = f(x)$ изображён на:

а) рис. 68;

б) рис. 69.

Рис. 68

Рис. 69

Определенный интеграл $ \int_{a}^{b} f(x)dx $ геометрически представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $ y=f(x) $, осью абсцисс $ (y=0) $ и вертикальными прямыми $ x=a $ и $ x=b $. Поскольку на обоих рисунках функция $ f(x) $ неотрицательна на отрезке интегрирования, значение интеграла равно площади соответствующей фигуры.

а) рис. 68;

Для вычисления интеграла $ \int_{-2}^{3} f(x)dx $ найдем площадь фигуры, ограниченной графиком функции на рис. 68, осью $Ox$ и прямыми $x=-2$ и $x=3$.

Эту фигуру можно разбить на две более простые:
1. Прямоугольную трапецию на отрезке $ [-2, 1] $.
2. Прямоугольник на отрезке $ [1, 3] $.

1. Найдем площадь трапеции $ S_1 $. Основания трапеции равны значениям функции в точках $ x=-2 $ и $ x=1 $. Из графика находим: $ f(-2) = 4 $ и $ f(1) = 1 $. Высота трапеции равна длине отрезка $ [-2, 1] $, то есть $ h_1 = 1 - (-2) = 3 $.
Площадь трапеции вычисляется по формуле $ S = \frac{a+b}{2}h $, где $ a $ и $ b $ – основания, $ h $ – высота.
$ S_1 = \frac{f(-2) + f(1)}{2} \cdot h_1 = \frac{4+1}{2} \cdot 3 = \frac{5}{2} \cdot 3 = \frac{15}{2} = 7,5 $.

2. Найдем площадь прямоугольника $ S_2 $ на отрезке $ [1, 3] $. Высота прямоугольника постоянна и равна $ f(x) = 1 $. Ширина прямоугольника равна длине отрезка $ [1, 3] $, то есть $ w_2 = 3 - 1 = 2 $.
Площадь прямоугольника равна произведению его сторон:
$ S_2 = 1 \cdot 2 = 2 $.

Общая площадь, равная значению интеграла, является суммой площадей трапеции и прямоугольника:
$ \int_{-2}^{3} f(x)dx = S_1 + S_2 = 7,5 + 2 = 9,5 $.

Ответ: $9,5$.

б) рис. 69.

Для вычисления интеграла $ \int_{-2}^{3} f(x)dx $ найдем площадь фигуры, ограниченной графиком функции на рис. 69, осью $Ox$ и прямыми $x=-2$ и $x=3$.

Эту фигуру можно разбить на два прямоугольных треугольника, так как график пересекает ось $Ox$ в точке $x=1$.
1. Первый треугольник на отрезке $ [-2, 1] $.
2. Второй треугольник на отрезке $ [1, 3] $.

1. Найдем площадь первого треугольника $ S_1 $. Его катеты – это отрезок на оси $Ox$ от $x=-2$ до $x=1$ и вертикальный отрезок от оси $Ox$ до точки графика при $x=-2$.
Длина первого катета (основания) равна $ b_1 = 1 - (-2) = 3 $.
Длина второго катета (высоты) равна значению функции в точке $x=-2$: $ h_1 = f(-2) = 3 $.
Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле $ S = \frac{1}{2}bh $.
$ S_1 = \frac{1}{2} \cdot b_1 \cdot h_1 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = \frac{9}{2} = 4,5 $.

2. Найдем площадь второго треугольника $ S_2 $ на отрезке $ [1, 3] $. Его катеты – это отрезок на оси $Ox$ от $x=1$ до $x=3$ и вертикальный отрезок от оси $Ox$ до точки графика при $x=3$.
Длина первого катета (основания) равна $ b_2 = 3 - 1 = 2 $.
Длина второго катета (высоты) равна значению функции в точке $x=3$: $ h_2 = f(3) = 2 $.
$ S_2 = \frac{1}{2} \cdot b_2 \cdot h_2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2 $.

Общая площадь, равная значению интеграла, является суммой площадей двух треугольников:
$ \int_{-2}^{3} f(x)dx = S_1 + S_2 = 4,5 + 2 = 6,5 $.

Ответ: $6,5$.