Номер 49.3, страница 195, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§49. Определённый интеграл. Глава 8. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 49.3, страница 195.

49.3 a) $\int_0^1 e^x dx;$

б) $\int_{-1}^1 3e^x dx;$

в) $\int_{-1}^0 \frac{1}{2}e^x dx;$

г) $\int_{-2}^1 -2e^x dx.$

а)

Для вычисления определенного интеграла $\int_{0}^{1} e^x dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$.

Первообразная для функции $f(x) = e^x$ есть $F(x) = e^x$.

Подставляем пределы интегрирования:

$\int_{0}^{1} e^x dx = [e^x]_{0}^{1} = e^1 - e^0 = e - 1$.

Ответ: $e - 1$.

б)

Вычислим интеграл $\int_{-1}^{1} 3e^x dx$. Сначала вынесем константу за знак интеграла:

$\int_{-1}^{1} 3e^x dx = 3 \int_{-1}^{1} e^x dx$.

Первообразная для $e^x$ — это $e^x$. Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$3 \int_{-1}^{1} e^x dx = 3 [e^x]_{-1}^{1} = 3(e^1 - e^{-1})$.

Упростим выражение, учитывая, что $e^{-1} = \frac{1}{e}$:

$3(e^1 - e^{-1}) = 3(e - \frac{1}{e})$.

Ответ: $3(e - \frac{1}{e})$.

в)

Вычислим интеграл $\int_{-1}^{0} \frac{1}{2}e^x dx$. Вынесем константу $\frac{1}{2}$ за знак интеграла:

$\int_{-1}^{0} \frac{1}{2}e^x dx = \frac{1}{2} \int_{-1}^{0} e^x dx$.

Используя первообразную $F(x) = e^x$ и формулу Ньютона-Лейбница, получаем:

$\frac{1}{2} [e^x]_{-1}^{0} = \frac{1}{2} (e^0 - e^{-1})$.

Так как $e^0 = 1$ и $e^{-1} = \frac{1}{e}$, результат равен:

$\frac{1}{2} (1 - \frac{1}{e})$.

Ответ: $\frac{1}{2}(1 - \frac{1}{e})$.

г)

Вычислим интеграл $\int_{-2}^{1} -2e^x dx$. Выносим константу -2:

$\int_{-2}^{1} -2e^x dx = -2 \int_{-2}^{1} e^x dx$.

Первообразная для $e^x$ есть $e^x$. Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$-2 [e^x]_{-2}^{1} = -2(e^1 - e^{-2})$.

Упрощая выражение, получаем:

$-2(e - e^{-2}) = -2(e - \frac{1}{e^2})$.

Ответ: $-2(e - \frac{1}{e^2})$.