Номер 49.6, страница 196, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§49. Определённый интеграл. Глава 8. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 49.6, страница 196.

49.6 a) $\int_1^2 \frac{dx}{x}$;

б) $\int_1^2 (e^x + \frac{1}{x}) dx$;

В) $\int_0^1 \frac{0.1}{x+1} dx$;

Г) $\int_1^2 (e^{2x} + \frac{2}{x}) dx$.

а) Для вычисления данного определенного интеграла воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.
В данном случае $f(x) = \frac{1}{x}$. Первообразная для этой функции $F(x) = \ln|x|$.
Подставляем пределы интегрирования:
$\int_{1}^{2} \frac{dx}{x} = [\ln|x|]_{1}^{2} = \ln|2| - \ln|1|$
Поскольку $\ln(1) = 0$, получаем:
$\ln(2) - 0 = \ln(2)$.
Ответ: $\ln(2)$.

б) Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций. Найдем первообразную для подынтегрального выражения $e^x + \frac{1}{x}$.
Первообразная для $e^x$ — это $e^x$.
Первообразная для $\frac{1}{x}$ — это $\ln|x|$.
Следовательно, первообразная для $e^x + \frac{1}{x}$ есть $F(x) = e^x + \ln|x|$.
Применяем формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_{1}^{2} (e^x + \frac{1}{x})dx = [e^x + \ln|x|]_{1}^{2} = (e^2 + \ln|2|) - (e^1 + \ln|1|)$
Так как $\ln(1) = 0$, выражение упрощается до:
$(e^2 + \ln(2)) - (e + 0) = e^2 - e + \ln(2)$.
Ответ: $e^2 - e + \ln(2)$.

в) Сначала вынесем константу $0,1$ за знак интеграла:
$\int_{0}^{1} \frac{0,1}{x + 1}dx = 0,1 \int_{0}^{1} \frac{1}{x + 1}dx$.
Первообразная для функции $f(x) = \frac{1}{x+1}$ есть $F(x) = \ln|x+1|$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$0,1 [\ln|x+1|]_{0}^{1} = 0,1 (\ln|1+1| - \ln|0+1|) = 0,1 (\ln(2) - \ln(1))$
Учитывая, что $\ln(1)=0$, получаем:
$0,1 (\ln(2) - 0) = 0,1\ln(2)$.
Ответ: $0,1\ln(2)$.

г) Найдем первообразную для подынтегральной функции $e^{2x} + \frac{2}{x}$.
Первообразная для $e^{2x}$ — это $\frac{1}{2}e^{2x}$.
Первообразная для $\frac{2}{x}$ — это $2\ln|x|$.
Таким образом, общая первообразная $F(x) = \frac{1}{2}e^{2x} + 2\ln|x|$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_{1}^{2} (e^{2x} + \frac{2}{x})dx = [\frac{1}{2}e^{2x} + 2\ln|x|]_{1}^{2} = (\frac{1}{2}e^{2 \cdot 2} + 2\ln|2|) - (\frac{1}{2}e^{2 \cdot 1} + 2\ln|1|)$
Так как $\ln(1)=0$, получаем:
$(\frac{1}{2}e^{4} + 2\ln(2)) - (\frac{1}{2}e^{2} + 0) = \frac{1}{2}e^{4} - \frac{1}{2}e^{2} + 2\ln(2)$.
Ответ: $\frac{1}{2}e^{4} - \frac{1}{2}e^{2} + 2\ln(2)$.