Номер 49.11, страница 197, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов


Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.
Тип: Задачник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый
Часть: 2
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
§49. Определённый интеграл. Глава 8. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 49.11, страница 197.
№49.11 (с. 197)
Условие. №49.11 (с. 197)
скриншот условия

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
49.11 а) $y = x^2$, $y = 0$, $x = 4$;
б) $y = x^3$, $y = 0$, $x = -3$, $x = 1$;
в) $y = x^2$, $y = 0$, $x = -3$;
г) $y = x^4$, $y = 0$, $x = -1$, $x = 2$.
Решение 1. №49.11 (с. 197)

Решение 2. №49.11 (с. 197)


Решение 5. №49.11 (с. 197)




Решение 6. №49.11 (с. 197)
а)
Фигура ограничена линиями $y = x^2$, $y = 0$ (ось Ox) и $x = 4$. Левая граница определяется точкой пересечения параболы $y = x^2$ с осью Ox, то есть $x^2 = 0$, откуда $x = 0$. Таким образом, фигура представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком функции $y = x^2$, снизу — осью Ox, слева — прямой $x = 0$, и справа — прямой $x = 4$.
Поскольку на отрезке $[0, 4]$ функция $y = x^2$ неотрицательна ($x^2 \ge 0$), площадь фигуры вычисляется с помощью определенного интеграла:
$S = \int_{0}^{4} x^2 \,dx$
Найдем первообразную для функции $f(x) = x^2$. Это $F(x) = \frac{x^3}{3}$.
По формуле Ньютона-Лейбница:
$S = \left. \frac{x^3}{3} \right|_{0}^{4} = \frac{4^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{64}{3} - 0 = \frac{64}{3}$
Площадь фигуры равна $\frac{64}{3}$ или $21\frac{1}{3}$ квадратных единиц.
Ответ: $\frac{64}{3}$.
б)
Фигура ограничена линиями $y = x^3$, $y = 0$ (ось Ox), $x = -3$ и $x = 1$.
На отрезке $[-3, 1]$ функция $y = x^3$ меняет знак. На промежутке $[-3, 0]$ функция отрицательна ($x^3 \le 0$), а на промежутке $[0, 1]$ — неотрицательна ($x^3 \ge 0$). Поэтому площадь фигуры равна сумме площадей двух криволинейных трапеций.
Площадь вычисляется как интеграл от модуля функции:
$S = \int_{-3}^{1} |x^3| \,dx = \int_{-3}^{0} (-x^3) \,dx + \int_{0}^{1} x^3 \,dx$
Найдем первообразную для $x^3$ — это $\frac{x^4}{4}$, а для $-x^3$ — это $-\frac{x^4}{4}$.
Вычислим каждый интеграл отдельно:
$\int_{-3}^{0} (-x^3) \,dx = \left. -\frac{x^4}{4} \right|_{-3}^{0} = \left(-\frac{0^4}{4}\right) - \left(-\frac{(-3)^4}{4}\right) = 0 - \left(-\frac{81}{4}\right) = \frac{81}{4}$
$\int_{0}^{1} x^3 \,dx = \left. \frac{x^4}{4} \right|_{0}^{1} = \frac{1^4}{4} - \frac{0^4}{4} = \frac{1}{4} - 0 = \frac{1}{4}$
Сложим полученные значения:
$S = \frac{81}{4} + \frac{1}{4} = \frac{82}{4} = \frac{41}{2} = 20.5$
Ответ: $\frac{41}{2}$.
в)
Фигура ограничена линиями $y = x^2$, $y = 0$ (ось Ox) и $x = -3$. Правая граница определяется точкой пересечения параболы $y = x^2$ с осью Ox, то есть $x = 0$. Таким образом, фигура ограничена отрезком $[-3, 0]$.
На отрезке $[-3, 0]$ функция $y = x^2$ неотрицательна. Площадь вычисляется по формуле:
$S = \int_{-3}^{0} x^2 \,dx$
Используем первообразную $F(x) = \frac{x^3}{3}$:
$S = \left. \frac{x^3}{3} \right|_{-3}^{0} = \frac{0^3}{3} - \frac{(-3)^3}{3} = 0 - \frac{-27}{3} = 9$
Ответ: $9$.
г)
Фигура ограничена линиями $y = x^4$, $y = 0$ (ось Ox), $x = -1$ и $x = 2$.
На всем отрезке $[-1, 2]$ функция $y = x^4$ неотрицательна ($x^4 \ge 0$), так как любая степень с четным показателем дает неотрицательный результат. Поэтому площадь фигуры можно найти как определенный интеграл:
$S = \int_{-1}^{2} x^4 \,dx$
Найдем первообразную для функции $f(x) = x^4$. Это $F(x) = \frac{x^5}{5}$.
Вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:
$S = \left. \frac{x^5}{5} \right|_{-1}^{2} = \frac{2^5}{5} - \frac{(-1)^5}{5} = \frac{32}{5} - \frac{-1}{5} = \frac{32}{5} + \frac{1}{5} = \frac{33}{5}$
Площадь фигуры равна $\frac{33}{5}$ или $6.6$ квадратных единиц.
Ответ: $\frac{33}{5}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 49.11 расположенного на странице 197 для 2-й части к задачнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №49.11 (с. 197), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), 2-й части ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.