Номер 49.12, страница 197, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§49. Определённый интеграл. Глава 8. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 49.12, страница 197.

49.12 a) $y = x^3 + 2, y = 0, x = 0, x = 2$;

б) $y = -x^2 + 4x, y = 0.

а)

Задача состоит в том, чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = x^3 + 2$, осью абсцисс ($y = 0$) и вертикальными прямыми $x = 0$ и $x = 2$. Такая площадь вычисляется с помощью определенного интеграла.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком неотрицательной функции $f(x)$, снизу — осью $Ox$, и прямыми $x=a$ и $x=b$, находится по формуле:

$S = \int_{a}^{b} f(x) dx$

В нашем случае $f(x) = x^3 + 2$, $a = 0$ и $b = 2$. На отрезке $[0, 2]$ функция $f(x) = x^3 + 2$ положительна, так как $x^3 \ge 0$, следовательно $x^3 + 2 \ge 2 > 0$.

Вычислим интеграл:

$S = \int_{0}^{2} (x^3 + 2) dx$

Находим первообразную для подынтегральной функции:

$F(x) = \int (x^3 + 2) dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + 2x = \frac{x^4}{4} + 2x$

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$S = F(2) - F(0) = \left. \left( \frac{x^4}{4} + 2x \right) \right|_{0}^{2} = \left( \frac{2^4}{4} + 2 \cdot 2 \right) - \left( \frac{0^4}{4} + 2 \cdot 0 \right)$

$S = \left( \frac{16}{4} + 4 \right) - 0 = (4 + 4) = 8$

Ответ: 8

б)

Задача состоит в том, чтобы найти площадь фигуры, ограниченной параболой $y = -x^2 + 4x$ и осью абсцисс ($y = 0$).

Сначала найдем пределы интегрирования. Это абсциссы точек пересечения данных линий. Для этого решим уравнение:

$-x^2 + 4x = 0$

Вынесем общий множитель $-x$ за скобки:

$-x(x - 4) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$. Это и будут пределы интегрирования.

График функции $y = -x^2 + 4x$ — это парабола, ветви которой направлены вниз. На интервале $(0, 4)$ функция принимает положительные значения (например, при $x=2$, $y = -2^2 + 4 \cdot 2 = -4 + 8 = 4 > 0$). Следовательно, на этом отрезке график функции находится выше оси $Ox$.

Площадь фигуры вычисляется по формуле:

$S = \int_{0}^{4} (-x^2 + 4x) dx$

Находим первообразную для подынтегральной функции:

$F(x) = \int (-x^2 + 4x) dx = -\frac{x^3}{3} + 4\frac{x^2}{2} = -\frac{x^3}{3} + 2x^2$

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$S = F(4) - F(0) = \left. \left( -\frac{x^3}{3} + 2x^2 \right) \right|_{0}^{4} = \left( -\frac{4^3}{3} + 2 \cdot 4^2 \right) - \left( -\frac{0^3}{3} + 2 \cdot 0^2 \right)$

$S = \left( -\frac{64}{3} + 2 \cdot 16 \right) - 0 = -\frac{64}{3} + 32 = -\frac{64}{3} + \frac{96}{3} = \frac{32}{3}$

Ответ: $\frac{32}{3}$