Номер 49.15, страница 197, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§49. Определённый интеграл. Глава 8. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 49.15, страница 197.

49.15 a) $y = 1 + \frac{1}{2}\cos x, y = 0, x = -\frac{\pi}{2}, x = \frac{\pi}{2};$

б) $y = 1 - \sin 2x, y = 0, x = 0, x = \pi.$

а) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = 1 + \frac{1}{2}\cos x$, $y = 0$, $x = -\frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{\pi}{2}$, необходимо вычислить определенный интеграл. Площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле $S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$, если $f(x) \ge 0$ на отрезке $[a, b]$.
В нашем случае $f(x) = 1 + \frac{1}{2}\cos x$. Проверим знак функции на отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Поскольку значение $\cos x$ находится в пределах от -1 до 1, то $\frac{1}{2}\cos x$ находится в пределах от $-\frac{1}{2}$ до $\frac{1}{2}$. Тогда $1 + \frac{1}{2}\cos x$ находится в пределах от $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ до $1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$. Так как функция на всем отрезке положительна, можно применять формулу.
Вычислим интеграл:
$S = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} (1 + \frac{1}{2}\cos x) \,dx$
Первообразная для подынтегральной функции $f(x) = 1 + \frac{1}{2}\cos x$ равна $F(x) = x + \frac{1}{2}\sin x$.
По формуле Ньютона-Лейбница:
$S = F(\frac{\pi}{2}) - F(-\frac{\pi}{2}) = \left(\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right) - \left(-\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)$
Так как $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ и $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$, подставляем эти значения:
$S = \left(\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1\right) - \left(-\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \cdot (-1)\right) = \left(\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\right) - \left(-\frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} = \pi + 1$
Ответ: $\pi + 1$.

б) Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 1 - \sin(2x)$, $y = 0$, $x = 0$ и $x = \pi$.
Проверим знак функции $f(x) = 1 - \sin(2x)$ на отрезке $[0, \pi]$. Значение $\sin(2x)$ находится в пределах от -1 до 1. Тогда $1 - \sin(2x)$ находится в пределах от $1 - 1 = 0$ до $1 - (-1) = 2$. Так как функция на всем отрезке неотрицательна ($f(x) \ge 0$), площадь вычисляется как определенный интеграл.
Вычислим интеграл:
$S = \int_{0}^{\pi} (1 - \sin(2x)) \,dx$
Первообразная для подынтегральной функции $f(x) = 1 - \sin(2x)$ равна $F(x) = x - (-\frac{1}{2}\cos(2x)) = x + \frac{1}{2}\cos(2x)$.
По формуле Ньютона-Лейбница:
$S = F(\pi) - F(0) = \left(\pi + \frac{1}{2}\cos(2\pi)\right) - \left(0 + \frac{1}{2}\cos(0)\right)$
Так как $\cos(2\pi) = 1$ и $\cos(0) = 1$, подставляем эти значения:
$S = \left(\pi + \frac{1}{2} \cdot 1\right) - \left(0 + \frac{1}{2} \cdot 1\right) = \pi + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = \pi$
Ответ: $\pi$.