Номер 49.19, страница 198, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§49. Определённый интеграл. Глава 8. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 49.19, страница 198.

49.19 Найдите площадь фигуры, изображённой на:

а) рис. 70;

$y = x^3$

Рис. 70

б) рис. 71;

$y = \sin x$

$\frac{\pi}{2}$

Рис. 71

в) рис. 72;

$y = x^2$

Рис. 72

г) рис. 73.

$y = \sin x$

$\frac{\pi}{2}$

$\pi$

Рис. 73

а)

Фигура, изображенная на рис. 70, ограничена кривой $y = x^3$, осью ординат ($x=0$) и прямой $y=8$. Для нахождения площади этой фигуры удобнее интегрировать по переменной $y$. Для этого необходимо выразить $x$ через $y$ из уравнения кривой: $x = \sqrt[3]{y}$. Фигура ограничена справа кривой $x = \sqrt[3]{y}$, слева осью $Oy$ (линия $x=0$), и изменяется по оси $y$ от 0 до 8.

Площадь фигуры $S$ вычисляется как определенный интеграл функции $x(y)$ в пределах от 0 до 8:

$S = \int_{0}^{8} \sqrt[3]{y} \, dy = \int_{0}^{8} y^{1/3} \, dy$

Вычисляем интеграл:

$S = \left[ \frac{y^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{1}{3}+1} \right]_{0}^{8} = \left[ \frac{y^{4/3}}{4/3} \right]_{0}^{8} = \left[ \frac{3}{4}y^{4/3} \right]_{0}^{8} = \frac{3}{4} \cdot 8^{4/3} - \frac{3}{4} \cdot 0^{4/3} = \frac{3}{4} \cdot (\sqrt[3]{8})^4 = \frac{3}{4} \cdot 2^4 = \frac{3}{4} \cdot 16 = 12$.

Ответ: 12.

б)

Фигура на рис. 71 ограничена сверху прямой $y=1$, снизу — графиком функции $y = \sin x$, и слева — осью ординат ($x=0$). Правая граница фигуры определяется точкой пересечения графиков $y=1$ и $y=\sin x$, что соответствует $x = \frac{\pi}{2}$. Площадь $S$ вычисляется как интеграл от разности верхней функции ($y=1$) и нижней функции ($y=\sin x$) по переменной $x$ от 0 до $\frac{\pi}{2}$:

$S = \int_{0}^{\pi/2} (1 - \sin x) \, dx = \left[ x - (-\cos x) \right]_{0}^{\pi/2} = \left[ x + \cos x \right]_{0}^{\pi/2}$.

Подставляем пределы интегрирования:

$S = \left(\frac{\pi}{2} + \cos \frac{\pi}{2}\right) - (0 + \cos 0) = \left(\frac{\pi}{2} + 0\right) - (0 + 1) = \frac{\pi}{2} - 1$.

Ответ: $\frac{\pi}{2} - 1$.

в)

Фигура на рис. 72 ограничена сверху прямой $y=4$ и снизу параболой $y = x^2$. Чтобы найти пределы интегрирования, найдем точки пересечения этих линий, решив уравнение $x^2 = 4$. Корни уравнения: $x = -2$ и $x = 2$. Площадь $S$ вычисляется как интеграл от разности верхней функции ($y=4$) и нижней функции ($y=x^2$) по $x$ от -2 до 2:

$S = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \, dx$.

Поскольку подынтегральная функция $f(x) = 4 - x^2$ является четной, а пределы интегрирования симметричны относительно нуля, мы можем упростить вычисление:

$S = 2 \int_{0}^{2} (4 - x^2) \, dx = 2 \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = 2 \left( (4 \cdot 2 - \frac{2^3}{3}) - (4 \cdot 0 - \frac{0^3}{3}) \right) = 2 \left( 8 - \frac{8}{3} \right) = 2 \left( \frac{24-8}{3} \right) = 2 \cdot \frac{16}{3} = \frac{32}{3}$.

Ответ: $\frac{32}{3}$.

г)

Фигура на рис. 73 ограничена сверху графиком функции $y = \sin x$ и снизу осью абсцисс ($y=0$). Из графика видно, что пределы интегрирования соответствуют положительному полупериоду синусоиды, то есть от $x=0$ до $x=\pi$. Площадь $S$ вычисляется как определенный интеграл функции $y=\sin x$ на этом отрезке:

$S = \int_{0}^{\pi} \sin x \, dx$.

Вычисляем интеграл:

$S = \left[ -\cos x \right]_{0}^{\pi} = (-\cos \pi) - (-\cos 0) = (-(-1)) - (-1) = 1 + 1 = 2$.

Ответ: 2.