Номер 49.13, страница 197, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§49. Определённый интеграл. Глава 8. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 49.13, страница 197.

49.13 a) $y = \frac{1}{x^2}$, $y = 0$, $x = 1$, $x = 2$;

б) $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$, $y = 0$, $x = 1$, $x = 9$.

а)

Задача состоит в нахождении площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y = \frac{1}{x^2}$, осью абсцисс ($y = 0$) и вертикальными прямыми $x = 1$ и $x = 2$. Площадь такой фигуры вычисляется с помощью определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница: $S = \int_{a}^{b} f(x) dx$.

В данном случае $f(x) = \frac{1}{x^2}$, $a = 1$ и $b = 2$. На отрезке $[1, 2]$ функция $f(x) = \frac{1}{x^2}$ является непрерывной и неотрицательной ($f(x) \ge 0$).

Вычислим интеграл: $S = \int_{1}^{2} \frac{1}{x^2} dx = \int_{1}^{2} x^{-2} dx$.

Первообразная для функции $f(x) = x^{-2}$ находится по формуле для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$: $F(x) = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}$.

Подставляем пределы интегрирования в первообразную: $S = [-\frac{1}{x}]_{1}^{2} = (-\frac{1}{2}) - (-\frac{1}{1}) = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

б)

Необходимо найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$, $y = 0$, $x = 1$ и $x = 9$. Аналогично предыдущему пункту, площадь вычисляется как определенный интеграл от функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ в пределах от $a=1$ до $b=9$.

На отрезке $[1, 9]$ функция $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ является непрерывной и неотрицательной.

Вычисляем площадь: $S = \int_{1}^{9} \frac{1}{\sqrt{x}} dx = \int_{1}^{9} x^{-1/2} dx$.

Найдем первообразную для $f(x) = x^{-1/2}$: $F(x) = \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} = \frac{x^{1/2}}{1/2} = 2x^{1/2} = 2\sqrt{x}$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница: $S = [2\sqrt{x}]_{1}^{9} = 2\sqrt{9} - 2\sqrt{1} = 2 \cdot 3 - 2 \cdot 1 = 6 - 2 = 4$.

Ответ: 4