Номер 49.8, страница 196, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§49. Определённый интеграл. Глава 8. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 49.8, страница 196.

49.8 Материальная точка движется по прямой со скоростью, определяемой формулой $v = v(t)$ (время измеряется в секундах, а скорость — в сантиметрах в секунду). Какой путь пройдёт точка за 3 секунды, считая от начала движения ($t = 0$)?

а) $v(t) = 3t^2 - 4t + 1$; в) $v(t) = 4t^3 - 6t^2$;

б) $v(t) = \frac{1}{\sqrt{5t + 1}}$; г) $v(t) = \frac{1}{\sqrt{7t + 4}}$.

Для нахождения пути, пройденного материальной точкой за промежуток времени от $t_1$ до $t_2$, необходимо вычислить определенный интеграл от модуля скорости $v(t)$ по времени. В данной задаче требуется найти путь за 3 секунды, считая от начала движения ($t=0$), поэтому промежуток интегрирования — от 0 до 3. Формула для вычисления пути $s$ выглядит так:

$s = \int_{0}^{3} |v(t)| \,dt$

Если на интервале $[0, 3]$ функция скорости $v(t)$ меняет знак, то для вычисления пути интеграл необходимо разбить на части, на каждой из которых $v(t)$ знакопостоянна.

a) $v(t) = 3t^2 - 4t + 1$

Сначала определим знаки функции скорости на интервале $[0, 3]$. Для этого найдем корни уравнения $v(t) = 0$:
$3t^2 - 4t + 1 = 0$
Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$.
Корни уравнения: $t_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm 2}{6}$.
$t_1 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$, $t_2 = \frac{6}{6} = 1$.
График функции $v(t)$ — парабола с ветвями вверх, поэтому:
$v(t) \ge 0$ при $t \in [0, 1/3]$ и $t \in [1, 3]$.
$v(t) \le 0$ при $t \in [1/3, 1]$.
Следовательно, путь вычисляется как сумма интегралов:
$s = \int_{0}^{1/3} (3t^2 - 4t + 1) \,dt + \int_{1/3}^{1} -(3t^2 - 4t + 1) \,dt + \int_{1}^{3} (3t^2 - 4t + 1) \,dt$
Найдем первообразную для $v(t)$:
$F(t) = \int (3t^2 - 4t + 1) \,dt = \frac{3t^3}{3} - \frac{4t^2}{2} + t = t^3 - 2t^2 + t$.
Вычислим значения первообразной в точках $0, 1/3, 1, 3$:
$F(0) = 0$
$F(1/3) = (\frac{1}{3})^3 - 2(\frac{1}{3})^2 + \frac{1}{3} = \frac{1}{27} - \frac{2}{9} + \frac{1}{3} = \frac{1-6+9}{27} = \frac{4}{27}$
$F(1) = 1^3 - 2 \cdot 1^2 + 1 = 0$
$F(3) = 3^3 - 2 \cdot 3^2 + 3 = 27 - 18 + 3 = 12$
Теперь вычислим путь:
$s = |F(1/3) - F(0)| + |F(1) - F(1/3)| + |F(3) - F(1)| = |\frac{4}{27} - 0| + |0 - \frac{4}{27}| + |12 - 0| = \frac{4}{27} + \frac{4}{27} + 12 = \frac{8}{27} + 12 = \frac{8 + 324}{27} = \frac{332}{27}$ см.
Ответ: $\frac{332}{27}$ см.

б) $v(t) = \frac{1}{\sqrt{5t+1}}$

На интервале времени $[0, 3]$ выражение под корнем $5t+1$ всегда положительно (изменяется от 1 до 16). Следовательно, $v(t) > 0$ на всем интервале, и модуль можно опустить:
$s = \int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{5t+1}} \,dt$
Для вычисления интеграла применим замену переменной. Пусть $u = 5t+1$, тогда $du = 5\,dt$, или $dt = \frac{du}{5}$.
Найдем новые пределы интегрирования: при $t=0$, $u=5(0)+1=1$; при $t=3$, $u=5(3)+1=16$.
$s = \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt{u}} \frac{du}{5} = \frac{1}{5} \int_{1}^{16} u^{-1/2} \,du = \frac{1}{5} [2\sqrt{u}]_{1}^{16} = \frac{2}{5}(\sqrt{16} - \sqrt{1}) = \frac{2}{5}(4-1) = \frac{2}{5} \cdot 3 = \frac{6}{5}$ см.
Ответ: $1,2$ см.

в) $v(t) = 4t^3 - 6t^2$

Определим, где скорость меняет знак. Решим уравнение $v(t) = 0$:
$4t^3 - 6t^2 = 0 \implies 2t^2(2t - 3) = 0$
Корни уравнения: $t=0$ и $t = \frac{3}{2} = 1.5$.
На интервале $[0, 3]$ точка смены знака — $t=1.5$.
При $t \in [0, 1.5]$, $v(t) \le 0$.
При $t \in [1.5, 3]$, $v(t) \ge 0$.
Интеграл для нахождения пути разбивается на две части:
$s = \int_{0}^{1.5} |4t^3 - 6t^2| \,dt + \int_{1.5}^{3} |4t^3 - 6t^2| \,dt = \int_{0}^{1.5} (6t^2 - 4t^3) \,dt + \int_{1.5}^{3} (4t^3 - 6t^2) \,dt$
Найдем первообразную для $v(t)$:
$F(t) = \int (4t^3 - 6t^2) \,dt = \frac{4t^4}{4} - \frac{6t^3}{3} = t^4 - 2t^3$.
Вычислим путь:
$s = |F(1.5) - F(0)| + |F(3) - F(1.5)|$
$F(0) = 0$
$F(1.5) = F(\frac{3}{2}) = (\frac{3}{2})^4 - 2(\frac{3}{2})^3 = \frac{81}{16} - 2 \cdot \frac{27}{8} = \frac{81}{16} - \frac{54}{8} = \frac{81 - 108}{16} = -\frac{27}{16}$
$F(3) = 3^4 - 2 \cdot 3^3 = 81 - 54 = 27$
Подставляем значения:
$s = |-\frac{27}{16} - 0| + |27 - (-\frac{27}{16})| = \frac{27}{16} + |27 + \frac{27}{16}| = \frac{27}{16} + \frac{432+27}{16} = \frac{27 + 459}{16} = \frac{486}{16} = \frac{243}{8}$ см.
Ответ: $30,375$ см.

г) $v(t) = \frac{1}{\sqrt{7t+4}}$

На интервале времени $[0, 3]$ выражение под корнем $7t+4$ всегда положительно (изменяется от 4 до 25). Значит, $v(t) > 0$ на всем интервале. Модуль можно опустить:
$s = \int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{7t+4}} \,dt$
Воспользуемся заменой переменной. Пусть $u = 7t+4$, тогда $du = 7\,dt$, или $dt = \frac{du}{7}$.
Новые пределы интегрирования: при $t=0$, $u=7(0)+4=4$; при $t=3$, $u=7(3)+4=25$.
$s = \int_{4}^{25} \frac{1}{\sqrt{u}} \frac{du}{7} = \frac{1}{7} \int_{4}^{25} u^{-1/2} \,du = \frac{1}{7} [2\sqrt{u}]_{4}^{25} = \frac{2}{7}(\sqrt{25} - \sqrt{4}) = \frac{2}{7}(5-2) = \frac{2}{7} \cdot 3 = \frac{6}{7}$ см.
Ответ: $\frac{6}{7}$ см.