Номер 49.4, страница 195, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§49. Определённый интеграл. Глава 8. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 49.4, страница 195.

49.4 а) $\int_{0}^{4} e^{0,5x - 1}dx;$

б) $\int_{-1}^{1} e^{2x + 1}dx;$

В) $\int_{-4}^{4} e^{0,25x + 1}dx;$

Г) $\int_{-0,5}^{0} e^{-2x + 2}dx.$

а)Вычислим определенный интеграл $\int_{0}^{4} e^{0,5x - 1} dx$.
Для нахождения интеграла воспользуемся общей формулой для первообразной функции вида $e^{kx+b}$: $\int e^{kx+b}dx = \frac{1}{k}e^{kx+b} + C$.
В данном случае $k=0,5$ и $b=-1$. Первообразная для подынтегральной функции $f(x) = e^{0,5x - 1}$ равна $F(x) = \frac{1}{0,5}e^{0,5x - 1} = 2e^{0,5x - 1}$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$:
$\int_{0}^{4} e^{0,5x - 1} dx = \left[ 2e^{0,5x - 1} \right]_{0}^{4} = 2e^{0,5 \cdot 4 - 1} - 2e^{0,5 \cdot 0 - 1} = 2e^{2 - 1} - 2e^{0 - 1} = 2e^{1} - 2e^{-1} = 2e - \frac{2}{e}$.
Ответ: $2e - 2e^{-1}$.

б)Вычислим определенный интеграл $\int_{-1}^{1} e^{2x + 1} dx$.
Первообразная для $f(x) = e^{2x + 1}$ находится по той же формуле, где $k=2$ и $b=1$. $F(x) = \frac{1}{2}e^{2x + 1}$.
По формуле Ньютона-Лейбница:
$\int_{-1}^{1} e^{2x + 1} dx = \left[ \frac{1}{2}e^{2x + 1} \right]_{-1}^{1} = \frac{1}{2}e^{2 \cdot 1 + 1} - \frac{1}{2}e^{2(-1) + 1} = \frac{1}{2}e^{3} - \frac{1}{2}e^{-2+1} = \frac{1}{2}e^{3} - \frac{1}{2}e^{-1} = \frac{e^{3} - e^{-1}}{2}$.
Ответ: $\frac{e^{3} - e^{-1}}{2}$.

в)Вычислим определенный интеграл $\int_{-4}^{4} e^{0,25x + 1} dx$.
Здесь $k=0,25$ и $b=1$. Первообразная для $f(x) = e^{0,25x + 1}$ равна $F(x) = \frac{1}{0,25}e^{0,25x + 1} = 4e^{0,25x + 1}$.
Применяя формулу Ньютона-Лейбница, находим:
$\int_{-4}^{4} e^{0,25x + 1} dx = \left[ 4e^{0,25x + 1} \right]_{-4}^{4} = 4e^{0,25 \cdot 4 + 1} - 4e^{0,25 \cdot (-4) + 1} = 4e^{1 + 1} - 4e^{-1 + 1} = 4e^{2} - 4e^{0} = 4e^{2} - 4 = 4(e^{2} - 1)$.
Ответ: $4(e^{2} - 1)$.

г)Вычислим определенный интеграл $\int_{-0,5}^{0} e^{-2x + 2} dx$.
В этом случае $k=-2$ и $b=2$. Первообразная для $f(x) = e^{-2x + 2}$ есть $F(x) = \frac{1}{-2}e^{-2x + 2} = -\frac{1}{2}e^{-2x + 2}$.
Согласно формуле Ньютона-Лейбница:
$\int_{-0,5}^{0} e^{-2x + 2} dx = \left[ -\frac{1}{2}e^{-2x + 2} \right]_{-0,5}^{0} = \left(-\frac{1}{2}e^{-2 \cdot 0 + 2}\right) - \left(-\frac{1}{2}e^{-2(-0,5) + 2}\right) = -\frac{1}{2}e^{2} - \left(-\frac{1}{2}e^{1 + 2}\right) = -\frac{1}{2}e^{2} + \frac{1}{2}e^{3} = \frac{e^{3} - e^{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{e^{3} - e^{2}}{2}$.