Номер 48.22, страница 195, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§48. Первообразная. Глава 8. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 48.22, страница 195.

48.22 Известно, что функция $y = F(x)$ — первообразная для функции $y = f(x)$. Что больше — $F(a)$ или $F(b)$, если:

a) $f(x) = (2x - 10)\sqrt{x - 3}$, $a = 3,3$, $b = 4,1$;

б) $f(x) = (3x + 60)\sqrt[3]{2x - 4}$, $a = 15$, $b = 17?

Поскольку функция $y = F(x)$ является первообразной для функции $y = f(x)$, то по определению $F'(x) = f(x)$. Характер монотонности функции $F(x)$ (возрастание или убывание) на некотором промежутке зависит от знака её производной $F'(x)$, то есть от знака функции $f(x)$ на этом промежутке.

• Если $f(x) > 0$ на промежутке, то функция $F(x)$ на этом промежутке возрастает.
• Если $f(x) < 0$ на промежутке, то функция $F(x)$ на этом промежутке убывает.

Чтобы сравнить значения $F(a)$ и $F(b)$, где $a < b$, мы определим знак функции $f(x)$ на отрезке $[a, b]$.

а) Дано: $f(x) = (2x - 10)\sqrt{x - 3}$, $a = 3,3$, $b = 4,1$.

Нам нужно сравнить $F(3,3)$ и $F(4,1)$. Для этого исследуем знак функции $f(x)$ на отрезке $[3,3; 4,1]$.

Функция $f(x)$ является произведением двух множителей: $(2x - 10)$ и $\sqrt{x-3}$.

1. Определим знак множителя $\sqrt{x-3}$ на отрезке $[3,3; 4,1]$. Область определения этого выражения — $x-3 \ge 0$, то есть $x \ge 3$. Наш отрезок $[3,3; 4,1]$ полностью входит в эту область. Для любого $x$ из этого отрезка $x - 3 > 0$, следовательно, $\sqrt{x-3} > 0$.

2. Определим знак множителя $(2x - 10)$ на отрезке $[3,3; 4,1]$. Найдем корень уравнения $2x - 10 = 0$, откуда $x = 5$. Так как все значения $x$ из отрезка $[3,3; 4,1]$ меньше 5, то для любого $x$ из этого отрезка выражение $2x - 10$ будет отрицательным. Например, при $x = 3,3$ имеем $2(3,3) - 10 = 6,6 - 10 = -3,4 < 0$. При $x = 4,1$ имеем $2(4,1) - 10 = 8,2 - 10 = -1,8 < 0$.

Итак, на отрезке $[3,3; 4,1]$ функция $f(x)$ является произведением отрицательного множителя $(2x - 10)$ и положительного множителя $\sqrt{x-3}$. Таким образом, $f(x) < 0$ на данном отрезке.

Поскольку $F'(x) = f(x) < 0$ на отрезке $[3,3; 4,1]$, функция $F(x)$ убывает на этом отрезке. Для убывающей функции, если $x_1 < x_2$, то $F(x_1) > F(x_2)$.

Так как $a = 3,3 < 4,1 = b$, то $F(3,3) > F(4,1)$, то есть $F(a) > F(b)$.

Ответ: $F(a)$ больше, чем $F(b)$.

б) Дано: $f(x) = (3x + 60)\sqrt[3]{2x - 4}$, $a = 15$, $b = 17$.

Нам нужно сравнить $F(15)$ и $F(17)$. Для этого исследуем знак функции $f(x)$ на отрезке $[15; 17]$.

Функция $f(x)$ является произведением двух множителей: $(3x + 60)$ и $\sqrt[3]{2x - 4}$.

1. Определим знак множителя $(3x + 60)$ на отрезке $[15; 17]$. Найдем корень уравнения $3x + 60 = 0$, откуда $x = -20$. Так как все значения $x$ из отрезка $[15; 17]$ больше $-20$, то для любого $x$ из этого отрезка выражение $3x + 60$ будет положительным.

2. Определим знак множителя $\sqrt[3]{2x - 4}$ на отрезке $[15; 17]$. Знак кубического корня совпадает со знаком подкоренного выражения. Исследуем знак выражения $2x - 4$. Найдем корень уравнения $2x - 4 = 0$, откуда $x = 2$. Так как все значения $x$ из отрезка $[15; 17]$ больше 2, то для любого $x$ из этого отрезка выражение $2x - 4$ будет положительным. Следовательно, и $\sqrt[3]{2x - 4}$ будет положительным.

Итак, на отрезке $[15; 17]$ функция $f(x)$ является произведением положительного множителя $(3x + 60)$ и положительного множителя $\sqrt[3]{2x - 4}$. Таким образом, $f(x) > 0$ на данном отрезке.

Поскольку $F'(x) = f(x) > 0$ на отрезке $[15; 17]$, функция $F(x)$ возрастает на этом отрезке. Для возрастающей функции, если $x_1 < x_2$, то $F(x_1) < F(x_2)$.

Так как $a = 15 < 17 = b$, то $F(15) < F(17)$, то есть $F(a) < F(b)$.

Ответ: $F(b)$ больше, чем $F(a)$.