Номер 48.18, страница 194, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§48. Первообразная. Глава 8. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 48.18, страница 194.

48.18 Найдите ту первообразную для заданной функции $y = f(x)$, график которой касается оси $x$:

а) $f(x) = 2x + 3;$

б) $f(x) = 12(3x - 1)^3.$

а) Для функции $f(x) = 2x + 3$.

Сначала найдем общий вид первообразной $F(x)$ для заданной функции. Первообразная находится путем интегрирования:$F(x) = \int (2x + 3)dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 3x + C = x^2 + 3x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Условие, что график первообразной $y=F(x)$ касается оси $x$, означает, что существует точка с абсциссой $x_0$, в которой одновременно выполняются два условия:
1. График проходит через точку на оси $x$, то есть $F(x_0) = 0$.
2. Касательная к графику в этой точке горизонтальна (совпадает с осью $x$), то есть $F'(x_0) = 0$.

По определению первообразной, $F'(x) = f(x)$. Поэтому второе условие можно записать как $f(x_0) = 0$. Решим это уравнение, чтобы найти абсциссу точки касания:$2x_0 + 3 = 0$$x_0 = -\frac{3}{2}$.

Теперь, используя первое условие $F(x_0) = 0$, найдем значение константы $C$:$F(-\frac{3}{2}) = (-\frac{3}{2})^2 + 3(-\frac{3}{2}) + C = 0$
$\frac{9}{4} - \frac{9}{2} + C = 0$
$\frac{9}{4} - \frac{18}{4} + C = 0$
$-\frac{9}{4} + C = 0$
$C = \frac{9}{4}$.

Подставив найденное значение $C$ в общий вид первообразной, получаем искомую функцию.
Ответ: $F(x) = x^2 + 3x + \frac{9}{4}$.

б) Для функции $f(x) = 12(3x - 1)^3$.

Найдем общий вид первообразной $F(x)$, вычислив интеграл:$F(x) = \int 12(3x - 1)^3 dx$.
Используем формулу $\int (ax+b)^n dx = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + C$:
$F(x) = 12 \cdot \frac{(3x - 1)^{3+1}}{3 \cdot (3+1)} + C = 12 \cdot \frac{(3x - 1)^4}{12} + C = (3x - 1)^4 + C$.

Как и в предыдущем пункте, условие касания оси $x$ в точке $x_0$ означает, что $F(x_0) = 0$ и $F'(x_0) = f(x_0) = 0$.
Найдем абсциссу точки касания из уравнения $f(x_0) = 0$:
$12(3x_0 - 1)^3 = 0$
$3x_0 - 1 = 0$
$x_0 = \frac{1}{3}$.

Теперь из условия $F(x_0) = 0$ найдем константу $C$:
$F(\frac{1}{3}) = (3 \cdot \frac{1}{3} - 1)^4 + C = 0$
$(1 - 1)^4 + C = 0$
$0 + C = 0 \implies C = 0$.

Следовательно, искомая первообразная, график которой касается оси $x$, имеет вид $F(x) = (3x-1)^4$.
Ответ: $F(x) = (3x - 1)^4$.