Номер 48.11, страница 193, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§48. Первообразная. Глава 8. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 48.11, страница 193.

48.11 а) $f(x) = \sin 2x;$

б) $f(x) = e^{2x-5} - \cos 3x;$

В) $f(x) = \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}};$

Г) $f(x) = \sqrt[3]{3x - 1} + \frac{1}{2 - 7x}.$

а) Для нахождения первообразной функции $f(x) = \sin 2x$ воспользуемся формулой для интегрирования синуса от линейного аргумента: $\int \sin(kx+b) \, dx = -\frac{1}{k}\cos(kx+b) + C$.
В данном случае, $k=2$ и $b=0$.
Следовательно, первообразная $F(x)$ для функции $f(x)$ имеет вид:
$F(x) = \int \sin 2x \, dx = -\frac{1}{2}\cos 2x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $F(x) = -\frac{1}{2}\cos 2x + C$.

б) Дана функция $f(x) = e^{2x-5} - \cos 3x$.
Первообразная разности функций равна разности их первообразных. Найдем первообразные для каждого слагаемого по отдельности.
1. Для функции $g(x) = e^{2x-5}$ используем формулу $\int e^{kx+b} \, dx = \frac{1}{k}e^{kx+b} + C_1$. Здесь $k=2$, $b=-5$.
$\int e^{2x-5} \, dx = \frac{1}{2}e^{2x-5} + C_1$.
2. Для функции $h(x) = \cos 3x$ используем формулу $\int \cos(kx+b) \, dx = \frac{1}{k}\sin(kx+b) + C_2$. Здесь $k=3$, $b=0$.
$\int \cos 3x \, dx = \frac{1}{3}\sin 3x + C_2$.
Объединяя результаты, получаем общую первообразную $F(x)$:
$F(x) = \int (e^{2x-5} - \cos 3x) \, dx = \frac{1}{2}e^{2x-5} - \frac{1}{3}\sin 3x + C$, где $C = C_1 - C_2$ — произвольная постоянная.
Ответ: $F(x) = \frac{1}{2}e^{2x-5} - \frac{1}{3}\sin 3x + C$.

в) Для нахождения первообразной функции $f(x) = \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}}$ воспользуемся табличной первообразной для функции $\frac{1}{\cos^2 u}$, которая равна $\tan u$, и правилом интегрирования сложной функции $\int g(kx+b)dx = \frac{1}{k}G(kx+b)+C$.
В данном случае $g(u) = \frac{1}{\cos^2 u}$, ее первообразная $G(u) = \tan u$. Аргумент $u = \frac{x}{2}$, поэтому коэффициент $k = \frac{1}{2}$.
Следовательно, первообразная $F(x)$ для функции $f(x)$ имеет вид:
$F(x) = \int \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}} \, dx = \frac{1}{1/2} \tan\left(\frac{x}{2}\right) + C = 2\tan\left(\frac{x}{2}\right) + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $F(x) = 2\tan\left(\frac{x}{2}\right) + C$.

г) Дана функция $f(x) = \sqrt[3]{3x-1} + \frac{1}{2-7x}$.
Первообразная суммы функций равна сумме их первообразных. Найдем первообразные для каждого слагаемого по отдельности.
1. Для функции $g(x) = \sqrt[3]{3x-1} = (3x-1)^{1/3}$ используем формулу для степенной функции $\int (kx+b)^n \, dx = \frac{1}{k}\frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C_1$.
Здесь $k=3$, $b=-1$, $n=1/3$.
$\int (3x-1)^{1/3} \, dx = \frac{1}{3} \frac{(3x-1)^{1/3+1}}{1/3+1} + C_1 = \frac{1}{3} \frac{(3x-1)^{4/3}}{4/3} + C_1 = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} (3x-1)^{4/3} + C_1 = \frac{1}{4}(3x-1)^{4/3} + C_1$.
2. Для функции $h(x) = \frac{1}{2-7x}$ используем формулу $\int \frac{1}{kx+b} \, dx = \frac{1}{k}\ln|kx+b| + C_2$.
Здесь $k=-7$, $b=2$.
$\int \frac{1}{2-7x} \, dx = \frac{1}{-7}\ln|2-7x| + C_2 = -\frac{1}{7}\ln|2-7x| + C_2$.
Объединяя результаты, получаем общую первообразную $F(x)$:
$F(x) = \frac{1}{4}(3x-1)^{4/3} - \frac{1}{7}\ln|2-7x| + C$, где $C = C_1 + C_2$ — произвольная постоянная.
Ответ: $F(x) = \frac{1}{4}(3x-1)^{4/3} - \frac{1}{7}\ln|2-7x| + C$.