Номер 48.15, страница 194, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§48. Первообразная. Глава 8. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 48.15, страница 194.

48.15 Скорость движения точки по координатной прямой задана формулой $v = \frac{6}{\sqrt{2t+1}}$, $t$ — время движения. Найдите закон движения, если $s(0) = 3$.

Закон движения точки $s(t)$ является первообразной для функции скорости $v(t)$. Это означает, что для нахождения закона движения необходимо найти неопределенный интеграл от функции скорости. Общий вид закона движения имеет вид:

$s(t) = \int v(t) dt + C$

Подставим данную нам функцию скорости в интеграл:

$s(t) = \int \frac{6}{\sqrt{2t + 1}} dt$

Для вычисления интеграла вынесем константу за знак интеграла и представим знаменатель в виде степени:

$s(t) = 6 \int (2t + 1)^{-\frac{1}{2}} dt$

Воспользуемся методом замены переменной. Введем новую переменную $u = 2t + 1$. Тогда ее дифференциал будет $du = (2t + 1)' dt = 2 dt$, из чего следует, что $dt = \frac{du}{2}$.

Выполним подстановку в интеграл:

$s(t) = 6 \int u^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{du}{2} = 3 \int u^{-\frac{1}{2}} du$

Теперь найдем интеграл от степенной функции по формуле $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$:

$s(t) = 3 \cdot \frac{u^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} + C = 3 \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = 6 u^{\frac{1}{2}} + C = 6\sqrt{u} + C$

Произведем обратную замену, подставив $u = 2t + 1$:

$s(t) = 6\sqrt{2t + 1} + C$

Мы получили общий вид закона движения. Для нахождения константы $C$ воспользуемся начальным условием, данным в задаче: $s(0) = 3$. Подставим $t=0$ в полученное выражение для $s(t)$:

$s(0) = 6\sqrt{2 \cdot 0 + 1} + C = 6\sqrt{1} + C = 6 + C$

Так как $s(0) = 3$, мы можем составить уравнение:

$6 + C = 3$

$C = 3 - 6$

$C = -3$

Теперь подставим найденное значение $C$ в общее уравнение для закона движения, чтобы получить частное решение:

$s(t) = 6\sqrt{2t + 1} - 3$

Ответ: $s(t) = 6\sqrt{2t + 1} - 3$