Номер 48.14, страница 194, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§48. Первообразная. Глава 8. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 48.14, страница 194.

48.14 Скорость движения точки по координатной прямой задана формулой $v = -4\sin 3t$, $t$ — время движения. Найдите закон движения, если известно, что в момент времени $t = 0$ координата точки равнялась числу 2.

По определению, скорость $v(t)$ является производной от координаты $x(t)$ по времени $t$. Следовательно, чтобы найти закон движения $x(t)$, нужно найти первообразную для функции скорости, то есть вычислить интеграл.

Закон движения $x(t)$ находится по формуле:

$x(t) = \int v(t) dt$

Подставим данную нам функцию скорости $v = -4\sin3t$:

$x(t) = \int (-4\sin3t) dt$

Вынесем константу за знак интеграла и вычислим его:

$x(t) = -4 \int \sin(3t) dt = -4 \left(-\frac{1}{3}\cos(3t)\right) + C = \frac{4}{3}\cos(3t) + C$

Здесь $C$ — это константа интегрирования. Для ее нахождения воспользуемся начальным условием, которое дано в задаче: в момент времени $t = 0$ координата точки $x(0)$ равнялась 2.

Подставим $t = 0$ и $x(0) = 2$ в полученное уравнение:

$2 = \frac{4}{3}\cos(3 \cdot 0) + C$

Так как $\cos(0) = 1$, уравнение принимает вид:

$2 = \frac{4}{3} \cdot 1 + C$

$2 = \frac{4}{3} + C$

Отсюда находим $C$:

$C = 2 - \frac{4}{3} = \frac{6}{3} - \frac{4}{3} = \frac{2}{3}$

Теперь подставим найденное значение $C$ обратно в выражение для $x(t)$, чтобы получить окончательный закон движения точки:

$x(t) = \frac{4}{3}\cos(3t) + \frac{2}{3}$

Ответ: $x(t) = \frac{4}{3}\cos(3t) + \frac{2}{3}$.