Номер 48.9, страница 193, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§48. Первообразная. Глава 8. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 48.9, страница 193.

Для функции $y = f(x)$ найдите хотя бы одну первообразную:

48.9 a) $f(x) = \sin \left(3x + \frac{\pi}{6}\right);$

б) $f(x) = \cos \left(\frac{\pi}{4} - 2x\right);$

в) $f(x) = \cos (4x - 3);$

г) $f(x) = \sin \left(2 - \frac{x}{2}\right).$

Для нахождения первообразной функции вида $y = f(kx+b)$, используется общая формула: $F(x) = \frac{1}{k} \cdot G(kx+b) + C$, где $G(u)$ — первообразная для $f(u)$, а $C$ — произвольная постоянная. Так как в задаче требуется найти хотя бы одну первообразную, мы можем положить $C=0$.

а) $f(x) = \sin\left(3x + \frac{\pi}{6}\right)$

Первообразной для функции $\sin(u)$ является функция $-\cos(u)$.

В данном случае, $u = 3x + \frac{\pi}{6}$, а коэффициент при $x$ равен $k=3$.

Применяя формулу, находим одну из первообразных $F(x)$:

$F(x) = \frac{1}{3} \cdot \left(-\cos\left(3x + \frac{\pi}{6}\right)\right) = -\frac{1}{3}\cos\left(3x + \frac{\pi}{6}\right)$.

Для проверки найдем производную от $F(x)$:

$F'(x) = \left(-\frac{1}{3}\cos\left(3x + \frac{\pi}{6}\right)\right)' = -\frac{1}{3} \cdot \left(-\sin\left(3x + \frac{\pi}{6}\right)\right) \cdot (3x)' = \frac{1}{3}\sin\left(3x + \frac{\pi}{6}\right) \cdot 3 = \sin\left(3x + \frac{\pi}{6}\right) = f(x)$.

Производная найденной функции совпадает с исходной, следовательно, первообразная найдена верно.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{3}\cos\left(3x + \frac{\pi}{6}\right)$.

б) $f(x) = \cos\left(\frac{\pi}{4} - 2x\right)$

Первообразной для функции $\cos(u)$ является функция $\sin(u)$.

В данном случае, $u = \frac{\pi}{4} - 2x$, а коэффициент при $x$ равен $k=-2$.

Применяя формулу, находим одну из первообразных $F(x)$:

$F(x) = \frac{1}{-2} \cdot \sin\left(\frac{\pi}{4} - 2x\right) = -\frac{1}{2}\sin\left(\frac{\pi}{4} - 2x\right)$.

Для проверки найдем производную от $F(x)$:

$F'(x) = \left(-\frac{1}{2}\sin\left(\frac{\pi}{4} - 2x\right)\right)' = -\frac{1}{2} \cdot \cos\left(\frac{\pi}{4} - 2x\right) \cdot (-2x)' = -\frac{1}{2}\cos\left(\frac{\pi}{4} - 2x\right) \cdot (-2) = \cos\left(\frac{\pi}{4} - 2x\right) = f(x)$.

Производная найденной функции совпадает с исходной, следовательно, первообразная найдена верно.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{2}\sin\left(\frac{\pi}{4} - 2x\right)$.

в) $f(x) = \cos(4x - 3)$

Первообразной для функции $\cos(u)$ является функция $\sin(u)$.

В данном случае, $u = 4x - 3$, а коэффициент при $x$ равен $k=4$.

Применяя формулу, находим одну из первообразных $F(x)$:

$F(x) = \frac{1}{4} \cdot \sin(4x - 3) = \frac{1}{4}\sin(4x - 3)$.

Для проверки найдем производную от $F(x)$:

$F'(x) = \left(\frac{1}{4}\sin(4x - 3)\right)' = \frac{1}{4} \cdot \cos(4x - 3) \cdot (4x)' = \frac{1}{4}\cos(4x - 3) \cdot 4 = \cos(4x - 3) = f(x)$.

Производная найденной функции совпадает с исходной, следовательно, первообразная найдена верно.

Ответ: $F(x) = \frac{1}{4}\sin(4x - 3)$.

г) $f(x) = \sin\left(2 - \frac{x}{2}\right)$

Первообразной для функции $\sin(u)$ является функция $-\cos(u)$.

В данном случае, $u = 2 - \frac{x}{2}$, а коэффициент при $x$ равен $k = -\frac{1}{2}$.

Применяя формулу, находим одну из первообразных $F(x)$:

$F(x) = \frac{1}{-\frac{1}{2}} \cdot \left(-\cos\left(2 - \frac{x}{2}\right)\right) = -2 \cdot \left(-\cos\left(2 - \frac{x}{2}\right)\right) = 2\cos\left(2 - \frac{x}{2}\right)$.

Для проверки найдем производную от $F(x)$:

$F'(x) = \left(2\cos\left(2 - \frac{x}{2}\right)\right)' = 2 \cdot \left(-\sin\left(2 - \frac{x}{2}\right)\right) \cdot \left(-\frac{x}{2}\right)' = 2 \cdot \left(-\sin\left(2 - \frac{x}{2}\right)\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = \sin\left(2 - \frac{x}{2}\right) = f(x)$.

Производная найденной функции совпадает с исходной, следовательно, первообразная найдена верно.

Ответ: $F(x) = 2\cos\left(2 - \frac{x}{2}\right)$.