Номер 48.2, страница 192, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 8. Первообразная и интеграл. §48. Первообразная - номер 48.2, страница 192.

Условие.

48.2 а) $F(x) = 3 \sin x, f(x) = 3 \cos x;$

б) $F(x) = -4 \cos x, f(x) = 4 \sin x;$

в) $F(x) = -9 \sin x, f(x) = -9 \cos x;$

Г) $F(x) = 5 \cos x, f(x) = -5 \sin x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 6.

а) Для того чтобы проверить, является ли функция $F(x) = 3 \sin x$ первообразной для функции $f(x) = 3 \cos x$, необходимо найти производную функции $F(x)$ и сравнить ее с $f(x)$.
Находим производную $F(x)$:
$F'(x) = (3 \sin x)'$
Используя правило вынесения константы за знак производной и производную синуса $(\sin x)' = \cos x$, получаем:
$F'(x) = 3 \cdot (\sin x)' = 3 \cos x$.
Сравниваем полученный результат с функцией $f(x)$: $F'(x) = 3 \cos x$ и $f(x) = 3 \cos x$.
Так как $F'(x) = f(x)$, то функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.
Ответ: Утверждение верно, так как $F'(x) = (3 \sin x)' = 3 \cos x = f(x)$.

б) Для того чтобы проверить, является ли функция $F(x) = -4 \cos x$ первообразной для функции $f(x) = 4 \sin x$, необходимо найти производную функции $F(x)$.
Находим производную $F(x)$:
$F'(x) = (-4 \cos x)'$
Используя правило вынесения константы за знак производной и производную косинуса $(\cos x)' = -\sin x$, получаем:
$F'(x) = -4 \cdot (\cos x)' = -4 \cdot (-\sin x) = 4 \sin x$.
Сравниваем полученный результат с функцией $f(x)$: $F'(x) = 4 \sin x$ и $f(x) = 4 \sin x$.
Так как $F'(x) = f(x)$, то функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.
Ответ: Утверждение верно, так как $F'(x) = (-4 \cos x)' = 4 \sin x = f(x)$.

в) Для того чтобы проверить, является ли функция $F(x) = -9 \sin x$ первообразной для функции $f(x) = -9 \cos x$, необходимо найти производную функции $F(x)$.
Находим производную $F(x)$:
$F'(x) = (-9 \sin x)'$
Используя правило вынесения константы за знак производной и производную синуса $(\sin x)' = \cos x$, получаем:
$F'(x) = -9 \cdot (\sin x)' = -9 \cos x$.
Сравниваем полученный результат с функцией $f(x)$: $F'(x) = -9 \cos x$ и $f(x) = -9 \cos x$.
Так как $F'(x) = f(x)$, то функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.
Ответ: Утверждение верно, так как $F'(x) = (-9 \sin x)' = -9 \cos x = f(x)$.

г) Для того чтобы проверить, является ли функция $F(x) = 5 \cos x$ первообразной для функции $f(x) = -5 \sin x$, необходимо найти производную функции $F(x)$.
Находим производную $F(x)$:
$F'(x) = (5 \cos x)'$
Используя правило вынесения константы за знак производной и производную косинуса $(\cos x)' = -\sin x$, получаем:
$F'(x) = 5 \cdot (\cos x)' = 5 \cdot (-\sin x) = -5 \sin x$.
Сравниваем полученный результат с функцией $f(x)$: $F'(x) = -5 \sin x$ и $f(x) = -5 \sin x$.
Так как $F'(x) = f(x)$, то функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.
Ответ: Утверждение верно, так как $F'(x) = (5 \cos x)' = -5 \sin x = f(x)$.