Номер 47.25, страница 191, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§47. Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 47.25, страница 191.

47.25 Напишите уравнение той касательной к графику функции

$y = f(x)$, которая параллельна данной прямой $y = kx + m$:

а) $f(x) = e^{2x}$, $y = 2ex - 5$;

б) $f(x) = \ln (3x + 2)$, $y = x + 7$.

а)

Чтобы найти уравнение касательной к графику функции $f(x) = e^{2x}$, параллельной прямой $y = 2ex - 5$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти угловой коэффициент данной прямой. Уравнение прямой $y = kx + m$ имеет угловой коэффициент $k$. Для прямой $y = 2ex - 5$ угловой коэффициент $k = 2e$.

2. Условие параллельности двух прямых — равенство их угловых коэффициентов. Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке $x_0$ равен значению производной $f'(x_0)$ в этой точке. Следовательно, нам нужно найти такое $x_0$, что $f'(x_0) = 2e$.

3. Найдем производную функции $f(x) = e^{2x}$. Используя правило дифференцирования сложной функции, получаем:
$f'(x) = (e^{2x})' = e^{2x} \cdot (2x)' = 2e^{2x}$.

4. Теперь решим уравнение $f'(x_0) = 2e$:
$2e^{2x_0} = 2e$
$e^{2x_0} = e$
$e^{2x_0} = e^1$
Так как основания степеней равны, приравниваем показатели:
$2x_0 = 1$
$x_0 = \frac{1}{2}$.

5. Мы нашли абсциссу точки касания. Теперь найдем ординату $y_0$, подставив $x_0$ в исходную функцию:
$y_0 = f(x_0) = f(\frac{1}{2}) = e^{2 \cdot \frac{1}{2}} = e^1 = e$.
Таким образом, точка касания — это $(\frac{1}{2}, e)$.

6. Напишем уравнение касательной, используя формулу $y = y_0 + k(x - x_0)$:
$y = e + 2e(x - \frac{1}{2})$
$y = e + 2ex - 2e \cdot \frac{1}{2}$
$y = e + 2ex - e$
$y = 2ex$.

Ответ: $y = 2ex$.

б)

Чтобы найти уравнение касательной к графику функции $f(x) = \ln(3x + 2)$, параллельной прямой $y = x + 7$, необходимо выполнить аналогичные шаги:

1. Угловой коэффициент прямой $y = x + 7$ равен $k=1$.

2. Условие параллельности касательной и данной прямой: $f'(x_0) = 1$.

3. Найдем производную функции $f(x) = \ln(3x + 2)$. Используя правило дифференцирования сложной функции, получаем:
$f'(x) = (\ln(3x+2))' = \frac{1}{3x+2} \cdot (3x+2)' = \frac{3}{3x+2}$.

4. Решим уравнение $f'(x_0) = 1$:
$\frac{3}{3x_0+2} = 1$
При условии, что $3x_0+2 \ne 0$:
$3 = 3x_0 + 2$
$1 = 3x_0$
$x_0 = \frac{1}{3}$.
(Область определения функции: $3x+2 > 0$, т.е. $x > -\frac{2}{3}$. Найденное значение $x_0 = \frac{1}{3}$ удовлетворяет этому условию).

5. Найдем ординату точки касания $y_0 = f(x_0)$:
$y_0 = f(\frac{1}{3}) = \ln(3 \cdot \frac{1}{3} + 2) = \ln(1+2) = \ln(3)$.
Таким образом, точка касания — это $(\frac{1}{3}, \ln(3))$.

6. Напишем уравнение касательной по формуле $y = y_0 + k(x - x_0)$:
$y = \ln(3) + 1 \cdot (x - \frac{1}{3})$
$y = \ln(3) + x - \frac{1}{3}$
$y = x - \frac{1}{3} + \ln(3)$.

Ответ: $y = x - \frac{1}{3} + \ln(3)$.