Номер 47.20, страница 190, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§47. Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 47.20, страница 190.

47.20 a) $y = xe^{2x-1}, a = \frac{1}{2};$

Б) $y = \frac{x^2-1}{e^3-x}, a = 2;$

В) $y = x^3 \ln x, a = e;$

Г) $y = (2x+1)e^{1-2x}, a = \frac{1}{2}.$

а)

Чтобы найти значение производной функции $y = xe^{2x-1}$ в точке $a = \frac{1}{2}$, необходимо сначала найти общую формулу для производной $y'(x)$, а затем подставить в нее значение $x=a$.

Данная функция является произведением двух функций: $u(x) = x$ и $v(x) = e^{2x-1}$. Для нахождения ее производной воспользуемся правилом дифференцирования произведения: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Найдем производные для каждой из функций:

$u'(x) = (x)' = 1$

Для нахождения производной $v'(x) = (e^{2x-1})'$ применяется правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Производная внешней функции $(e^t)'$ равна $e^t$, а производная внутренней функции $(2x-1)'$ равна 2.

$v'(x) = (e^{2x-1})' = e^{2x-1} \cdot (2x-1)' = 2e^{2x-1}$

Теперь, подставив найденные производные в формулу для производной произведения, получим:

$y'(x) = (x)' \cdot e^{2x-1} + x \cdot (e^{2x-1})' = 1 \cdot e^{2x-1} + x \cdot 2e^{2x-1} = e^{2x-1}(1 + 2x)$

Наконец, вычислим значение производной в точке $a = \frac{1}{2}$:

$y'(\frac{1}{2}) = e^{2 \cdot \frac{1}{2} - 1}(1 + 2 \cdot \frac{1}{2}) = e^{1-1}(1+1) = e^0 \cdot 2 = 1 \cdot 2 = 2$

Ответ: 2

б)

Чтобы найти значение производной функции $y = \frac{x^2-1}{e^{3-x}}$ в точке $a = 2$, сначала найдем ее производную $y'(x)$, а затем подставим значение $x=a$.

Данная функция является частным двух функций: $u(x) = x^2-1$ и $v(x) = e^{3-x}$. Для нахождения ее производной воспользуемся правилом дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Найдем производные для числителя и знаменателя:

$u'(x) = (x^2-1)' = 2x$

Для нахождения производной $v'(x) = (e^{3-x})'$ применяется цепное правило. Производная внешней функции $(e^t)'$ равна $e^t$, а производная внутренней функции $(3-x)'$ равна -1.

$v'(x) = (e^{3-x})' = e^{3-x} \cdot (3-x)' = -e^{3-x}$

Подставим найденные производные в формулу для производной частного:

$y'(x) = \frac{(x^2-1)' \cdot e^{3-x} - (x^2-1) \cdot (e^{3-x})'}{(e^{3-x})^2} = \frac{2x \cdot e^{3-x} - (x^2-1) \cdot (-e^{3-x})}{(e^{3-x})^2}$

Упростим полученное выражение:

$y'(x) = \frac{2xe^{3-x} + (x^2-1)e^{3-x}}{(e^{3-x})^2} = \frac{e^{3-x}(2x + x^2 - 1)}{e^{2(3-x)}} = \frac{x^2+2x-1}{e^{3-x}}$

Теперь вычислим значение производной в точке $a=2$:

$y'(2) = \frac{2^2 + 2 \cdot 2 - 1}{e^{3-2}} = \frac{4+4-1}{e^1} = \frac{7}{e}$

Ответ: $\frac{7}{e}$

в)

Чтобы найти значение производной функции $y = x^3 \ln x$ в точке $a = e$, сначала найдем ее производную $y'(x)$, а затем подставим значение $x=a$.

Данная функция является произведением двух функций: $u(x) = x^3$ и $v(x) = \ln x$. Воспользуемся правилом дифференцирования произведения: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Найдем производные для каждой из функций:

$u'(x) = (x^3)' = 3x^2$

$v'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}$

Подставим найденные производные в формулу для производной произведения:

$y'(x) = (x^3)' \cdot \ln x + x^3 \cdot (\ln x)' = 3x^2 \ln x + x^3 \cdot \frac{1}{x} = 3x^2 \ln x + x^2$

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки для упрощения:

$y'(x) = x^2(3\ln x + 1)$

Теперь вычислим значение производной в точке $a=e$. При этом учтем, что $\ln e = 1$.

$y'(e) = e^2(3\ln e + 1) = e^2(3 \cdot 1 + 1) = e^2(4) = 4e^2$

Ответ: $4e^2$

г)

Чтобы найти значение производной функции $y = (2x+1)e^{1-2x}$ в точке $a = \frac{1}{2}$, сначала найдем ее производную $y'(x)$, а затем подставим значение $x=a$.

Данная функция является произведением двух функций: $u(x) = 2x+1$ и $v(x) = e^{1-2x}$. Воспользуемся правилом дифференцирования произведения: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Найдем производные для каждой из функций:

$u'(x) = (2x+1)' = 2$

Для нахождения производной $v'(x) = (e^{1-2x})'$ применяется цепное правило. Производная внешней функции $(e^t)'$ равна $e^t$, а производная внутренней функции $(1-2x)'$ равна -2.

$v'(x) = (e^{1-2x})' = e^{1-2x} \cdot (1-2x)' = -2e^{1-2x}$

Подставим найденные производные в формулу для производной произведения:

$y'(x) = (2x+1)' \cdot e^{1-2x} + (2x+1) \cdot (e^{1-2x})' = 2e^{1-2x} + (2x+1)(-2e^{1-2x})$

Упростим выражение, вынеся общий множитель $2e^{1-2x}$ за скобки:

$y'(x) = 2e^{1-2x}(1 - (2x+1)) = 2e^{1-2x}(1 - 2x - 1) = 2e^{1-2x}(-2x) = -4xe^{1-2x}$

Теперь вычислим значение производной в точке $a = \frac{1}{2}$:

$y'(\frac{1}{2}) = -4 \cdot \frac{1}{2} \cdot e^{1-2 \cdot \frac{1}{2}} = -2 \cdot e^{1-1} = -2 \cdot e^0 = -2 \cdot 1 = -2$

Ответ: -2