Номер 47.15, страница 189, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§47. Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 47.15, страница 189.

47.15 Постройте график функции:

а) $y = \ln(x - 4)$;

б) $y = \ln ex$;

в) $y = \ln(x + 3)$;

г) $y = \ln \frac{x}{e}$.

Для построения графиков данных функций мы будем использовать преобразования графика базовой функции натурального логарифма $y = \ln(x)$.

График функции $y = \ln(x)$ имеет следующие свойства:

• Область определения: $x > 0$.
• Вертикальная асимптота: прямая $x = 0$ (ось Oy).
• График проходит через ключевые точки $(1, 0)$ и $(e, 1)$, где $e \approx 2.718$.
• Функция является возрастающей на всей области определения.

а) $y = \ln(x - 4)$

Данная функция имеет вид $y = f(x - a)$, где $f(x) = \ln(x)$ и $a = 4$. Это означает, что график исходной функции $y = \ln(x)$ необходимо сдвинуть на 4 единицы вправо вдоль оси абсцисс (Ox).

1. Область определения: Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $x - 4 > 0$, откуда $x > 4$.
2. Асимптота: Вертикальная асимптота $x = 0$ для функции $y = \ln(x)$ также смещается на 4 единицы вправо, превращаясь в прямую $x = 4$.
3. Ключевые точки:
   • Точка пересечения с осью Ox для $y = \ln(x)$ — это $(1, 0)$. При сдвиге она переходит в точку $(1 + 4, 0) = (5, 0)$. Проверим: $y = \ln(5 - 4) = \ln(1) = 0$.
   • Точка $(e, 1)$ на графике $y = \ln(x)$ переходит в точку $(e + 4, 1)$.

Таким образом, для построения графика нужно взять график $y = \ln(x)$ и сдвинуть его целиком на 4 единицы вправо.

Ответ: График функции $y = \ln(x - 4)$ получается путем сдвига графика функции $y = \ln(x)$ на 4 единицы вправо вдоль оси Ox. Вертикальная асимптота графика — прямая $x=4$. График пересекает ось Ox в точке $(5, 0)$.

б) $y = \ln ex$

Используем свойство логарифма произведения: $\ln(ab) = \ln a + \ln b$.

$y = \ln(e \cdot x) = \ln e + \ln x = 1 + \ln x$.

Получили функцию вида $y = f(x) + b$, где $f(x) = \ln(x)$ и $b = 1$. Это означает, что график исходной функции $y = \ln(x)$ необходимо сдвинуть на 1 единицу вверх вдоль оси ординат (Oy).

1. Область определения: $ex > 0$. Так как $e > 0$, то $x > 0$.
2. Асимптота: Вертикальный сдвиг не влияет на положение вертикальной асимптоты, поэтому она остается $x = 0$.
3. Ключевые точки:
   • Точка $(1, 0)$ на графике $y = \ln(x)$ переходит в точку $(1, 0 + 1) = (1, 1)$.
   • Точка $(e, 1)$ переходит в точку $(e, 1 + 1) = (e, 2)$.
   • Найдем точку пересечения с осью Ox ($y = 0$): $0 = 1 + \ln x \implies \ln x = -1 \implies x = e^{-1} = \frac{1}{e}$. Точка пересечения — $(\frac{1}{e}, 0)$.

Ответ: График функции $y = \ln ex$ получается путем сдвига графика функции $y = \ln(x)$ на 1 единицу вверх вдоль оси Oy. Вертикальная асимптота — прямая $x=0$. График проходит через точки $(1, 1)$ и $(\frac{1}{e}, 0)$.

в) $y = \ln(x + 3)$

Данная функция имеет вид $y = f(x + a)$, где $f(x) = \ln(x)$ и $a = 3$. Это означает, что график исходной функции $y = \ln(x)$ необходимо сдвинуть на 3 единицы влево вдоль оси абсцисс (Ox).

1. Область определения: $x + 3 > 0$, откуда $x > -3$.
2. Асимптота: Вертикальная асимптота $x = 0$ смещается на 3 единицы влево и становится прямой $x = -3$.
3. Ключевые точки:
   • Точка пересечения с осью Ox $(1, 0)$ переходит в точку $(1 - 3, 0) = (-2, 0)$. Проверим: $y = \ln(-2 + 3) = \ln(1) = 0$.
   • Точка $(e, 1)$ переходит в точку $(e - 3, 1)$.

Ответ: График функции $y = \ln(x + 3)$ получается путем сдвига графика функции $y = \ln(x)$ на 3 единицы влево вдоль оси Ox. Вертикальная асимптота — прямая $x=-3$. График пересекает ось Ox в точке $(-2, 0)$.

г) $y = \ln \frac{x}{e}$

Используем свойство логарифма частного: $\ln(\frac{a}{b}) = \ln a - \ln b$.

$y = \ln x - \ln e = \ln x - 1$.

Получили функцию вида $y = f(x) - b$, где $f(x) = \ln(x)$ и $b = 1$. Это означает, что график исходной функции $y = \ln(x)$ необходимо сдвинуть на 1 единицу вниз вдоль оси ординат (Oy).

1. Область определения: $\frac{x}{e} > 0$. Так как $e > 0$, то $x > 0$.
2. Асимптота: Вертикальный сдвиг не влияет на положение вертикальной асимптоты, она остается $x = 0$.
3. Ключевые точки:
   • Точка $(1, 0)$ на графике $y = \ln(x)$ переходит в точку $(1, 0 - 1) = (1, -1)$.
   • Точка $(e, 1)$ переходит в точку $(e, 1 - 1) = (e, 0)$. Это новая точка пересечения с осью Ox.

Ответ: График функции $y = \ln \frac{x}{e}$ получается путем сдвига графика функции $y = \ln(x)$ на 1 единицу вниз вдоль оси Oy. Вертикальная асимптота — прямая $x=0$. График пересекает ось Ox в точке $(e, 0)$.