Номер 47.13, страница 189, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§47. Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 47.13, страница 189.

47.13 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = x^2 e^x$

на заданном отрезке:

а) [-1; 1];

б) [-3; 1];

в) [-3; -1];

г) [1; 3].

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = x^2e^x$ на заданных отрезках, сначала найдем ее производную и критические точки. Алгоритм решения следующий:
1. Найти производную функции $y'(x)$.
2. Найти критические точки функции, в которых $y'(x) = 0$ или не существует.
3. Вычислить значения функции в критических точках, принадлежащих заданному отрезку, и на концах этого отрезка.
4. Сравнить полученные значения и выбрать из них наименьшее и наибольшее.

Находим производную функции $y = x^2e^x$ по правилу произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$y' = (x^2)'e^x + x^2(e^x)' = 2xe^x + x^2e^x = xe^x(2+x)$

Приравниваем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$xe^x(2+x) = 0$

Так как $e^x > 0$ для любого $x$, получаем $x(2+x) = 0$. Критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$.

Исследование знаков производной показывает, что $x=-2$ — точка локального максимума, а $x=0$ — точка локального минимума.

Теперь рассмотрим каждый отрезок.

а) На отрезке $[-1; 1]$

В данный отрезок попадает одна критическая точка $x = 0$. Вычислим значения функции в этой точке и на концах отрезка:

• $y(-1) = (-1)^2 e^{-1} = e^{-1} = \frac{1}{e}$
• $y(0) = 0^2 e^0 = 0$
• $y(1) = 1^2 e^1 = e$

Сравнивая значения $0$, $\frac{1}{e}$ и $e$, находим наименьшее и наибольшее.

Ответ: наименьшее значение: $0$; наибольшее значение: $e$.

б) На отрезке $[-3; 1]$

В данный отрезок попадают обе критические точки $x = -2$ и $x = 0$. Вычислим значения функции в этих точках и на концах отрезка:

• $y(-3) = (-3)^2 e^{-3} = 9e^{-3} = \frac{9}{e^3}$
• $y(-2) = (-2)^2 e^{-2} = 4e^{-2} = \frac{4}{e^2}$
• $y(0) = 0$
• $y(1) = 1^2 e^1 = e$

Сравним полученные значения: $0$, $e \approx 2.718$, $\frac{4}{e^2} \approx \frac{4}{7.39} \approx 0.541$, $\frac{9}{e^3} \approx \frac{9}{20.09} \approx 0.448$.

Ответ: наименьшее значение: $0$; наибольшее значение: $e$.

в) На отрезке $[-3; -1]$

В данный отрезок попадает одна критическая точка $x = -2$. Вычислим значения функции в этой точке и на концах отрезка:

• $y(-3) = (-3)^2 e^{-3} = 9e^{-3} = \frac{9}{e^3}$
• $y(-2) = (-2)^2 e^{-2} = 4e^{-2} = \frac{4}{e^2}$
• $y(-1) = (-1)^2 e^{-1} = e^{-1} = \frac{1}{e}$

Сравним полученные значения. Используя приближения, $\frac{1}{e} \approx 0.368$, $\frac{9}{e^3} \approx 0.448$, $\frac{4}{e^2} \approx 0.541$.

Ответ: наименьшее значение: $\frac{1}{e}$; наибольшее значение: $\frac{4}{e^2}$.

г) На отрезке $[1; 3]$

На данном отрезке нет критических точек. Производная $y'(x) = xe^x(2+x)$ положительна для всех $x \in [1; 3]$, следовательно, функция на этом отрезке монотонно возрастает. Наименьшее значение достигается на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.

• $y(1) = 1^2 e^1 = e$
• $y(3) = 3^2 e^3 = 9e^3$

Ответ: наименьшее значение: $e$; наибольшее значение: $9e^3$.