Номер 47.7, страница 188, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§47. Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 47.7, страница 188.

47.7 Найдите угол, образованный касательной к графику функции $y = h(x)$ с положительным направлением оси абсцисс в точке с абсциссой $x_0$:

a) $h(x) = \frac{1}{5}e^{5x-1}$, $x_0 = 0,2$;

б) $h(x) = e^{-x-\sqrt{3}}$, $x_0 = -\sqrt{3}$;

в) $h(x) = \frac{1}{3}e^{1-3x}$, $x_0 = \frac{1}{3}$;

г) $h(x) = e^{\frac{\sqrt{3}}{3}x-1}$, $x_0 = \sqrt{3}$.

Угол $\alpha$, образованный касательной к графику функции $y=h(x)$ с положительным направлением оси абсцисс, определяется тангенсом угла наклона этой касательной. Тангенс угла наклона, в свою очередь, равен значению производной функции в точке касания $x_0$. Таким образом, задача сводится к нахождению значения производной $h'(x_0)$ и последующему вычислению угла $\alpha$ из уравнения $\tan(\alpha) = h'(x_0)$.

а) Дана функция $h(x) = \frac{1}{5}e^{5x-1}$ и точка $x_0 = 0,2$. Сначала находим производную функции, используя правило дифференцирования сложной функции: $h'(x) = \left(\frac{1}{5}e^{5x-1}\right)' = \frac{1}{5} \cdot e^{5x-1} \cdot (5x-1)' = \frac{1}{5} \cdot e^{5x-1} \cdot 5 = e^{5x-1}$. Затем вычисляем значение производной в точке $x_0 = 0,2$: $h'(0,2) = e^{5 \cdot 0,2 - 1} = e^{1 - 1} = e^0 = 1$. Тангенс угла наклона касательной равен 1, то есть $\tan(\alpha) = 1$. Следовательно, искомый угол $\alpha = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$

б) Дана функция $h(x) = e^{-x-\sqrt{3}}$ и точка $x_0 = -\sqrt{3}$. Находим производную: $h'(x) = \left(e^{-x-\sqrt{3}}\right)' = e^{-x-\sqrt{3}} \cdot (-x-\sqrt{3})' = -e^{-x-\sqrt{3}}$. Вычисляем значение производной в точке $x_0 = -\sqrt{3}$: $h'(-\sqrt{3}) = -e^{-(-\sqrt{3})-\sqrt{3}} = -e^{\sqrt{3}-\sqrt{3}} = -e^0 = -1$. Тангенс угла наклона касательной равен -1, то есть $\tan(\alpha) = -1$. Следовательно, искомый угол $\alpha = 135^\circ$.

Ответ: $135^\circ$

в) Дана функция $h(x) = \frac{1}{3}e^{1-3x}$ и точка $x_0 = \frac{1}{3}$. Находим производную: $h'(x) = \left(\frac{1}{3}e^{1-3x}\right)' = \frac{1}{3} \cdot e^{1-3x} \cdot (1-3x)' = \frac{1}{3} \cdot e^{1-3x} \cdot (-3) = -e^{1-3x}$. Вычисляем значение производной в точке $x_0 = \frac{1}{3}$: $h'\left(\frac{1}{3}\right) = -e^{1 - 3 \cdot \frac{1}{3}} = -e^{1-1} = -e^0 = -1$. Тангенс угла наклона касательной равен -1, то есть $\tan(\alpha) = -1$. Следовательно, искомый угол $\alpha = 135^\circ$.

Ответ: $135^\circ$

г) Дана функция $h(x) = e^{\frac{\sqrt{3}}{3}x - 1}$ и точка $x_0 = \sqrt{3}$. Находим производную: $h'(x) = \left(e^{\frac{\sqrt{3}}{3}x - 1}\right)' = e^{\frac{\sqrt{3}}{3}x - 1} \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{3}x - 1\right)' = e^{\frac{\sqrt{3}}{3}x - 1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$. Вычисляем значение производной в точке $x_0 = \sqrt{3}$: $h'(\sqrt{3}) = e^{\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{3} - 1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = e^{\frac{3}{3} - 1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = e^{1-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = e^0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Тангенс угла наклона касательной равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$, то есть $\tan(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Следовательно, искомый угол $\alpha = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$