Номер 47.2, страница 188, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§47. Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 47.2, страница 188.

47.2 Найдите производную функции $y = f(x)$:

a) $f(x) = 4 - e^x$;

б) $f(x) = x^3e^x$;

в) $f(x) = -8e^x$;

г) $f(x) = \frac{e^x}{x^3}$.

а) Для нахождения производной функции $f(x) = 4 - e^x$ воспользуемся правилом дифференцирования разности: производная разности равна разности производных.
$f'(x) = (4 - e^x)' = (4)' - (e^x)'$.
Производная константы (числа 4) равна нулю: $(4)' = 0$.
Производная показательной функции $e^x$ равна самой себе: $(e^x)' = e^x$.
Таким образом, получаем:
$f'(x) = 0 - e^x = -e^x$.
Ответ: $f'(x) = -e^x$.

б) Для нахождения производной функции $f(x) = x^3e^x$ применим правило дифференцирования произведения двух функций: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.
Пусть $u(x) = x^3$ и $v(x) = e^x$.
Найдём их производные: $u'(x) = (x^3)' = 3x^2$ и $v'(x) = (e^x)' = e^x$.
Теперь подставим всё в формулу производной произведения:
$f'(x) = (x^3)' \cdot e^x + x^3 \cdot (e^x)' = 3x^2 \cdot e^x + x^3 \cdot e^x$.
Результат можно оставить в таком виде или вынести общий множитель $x^2e^x$ за скобки: $f'(x) = x^2e^x(3 + x)$.
Ответ: $f'(x) = 3x^2e^x + x^3e^x$.

в) Для нахождения производной функции $f(x) = -8e^x$ используем правило вынесения константы за знак производной: $(c \cdot u)' = c \cdot u'$.
$f'(x) = (-8e^x)' = -8 \cdot (e^x)'$.
Так как производная $(e^x)' = e^x$, получаем:
$f'(x) = -8e^x$.
Ответ: $f'(x) = -8e^x$.

г) Для нахождения производной функции $f(x) = \frac{e^x}{x^3}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного (дроби): $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Пусть $u(x) = e^x$ и $v(x) = x^3$.
Найдём их производные: $u'(x) = (e^x)' = e^x$ и $v'(x) = (x^3)' = 3x^2$.
Подставляем в формулу:
$f'(x) = \frac{(e^x)' \cdot x^3 - e^x \cdot (x^3)'}{(x^3)^2} = \frac{e^x \cdot x^3 - e^x \cdot 3x^2}{x^6}$.
Упростим выражение, вынеся в числителе общий множитель $e^x x^2$:
$f'(x) = \frac{e^x x^2(x - 3)}{x^6}$.
Сократим дробь на $x^2$ (при условии $x \neq 0$):
$f'(x) = \frac{e^x(x - 3)}{x^4}$.
Ответ: $f'(x) = \frac{e^x(x - 3)}{x^4}$.