Номер 46.13, страница 187, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§46. Переход к новому основанию логарифма. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 46.13, страница 187.

Решите уравнение:

46.13 a) $ \log_3 x + 1 = 2 \log_x 3; $

б) $ 2 \log_x 5 - 3 = - \log_5 x; $

в) $ \log_7 x - 1 = 6 \log_x 7; $

г) $ \log_2 x + 9 \log_x 2 = 10. $

а) $log_3 x + 1 = 2 log_x 3$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями на основание и аргумент логарифма: $x > 0$ и $x \ne 1$.
Используем формулу смены основания логарифма $log_b a = \frac{1}{log_a b}$, чтобы привести $log_x 3$ к основанию 3: $log_x 3 = \frac{1}{log_3 x}$.
Подставим это выражение в исходное уравнение:
$log_3 x + 1 = 2 \cdot \frac{1}{log_3 x}$
Введем замену переменной. Пусть $t = log_3 x$. Уравнение примет вид:
$t + 1 = \frac{2}{t}$
Умножим обе части уравнения на $t$ (по ОДЗ $x \ne 1$, следовательно $t = log_3 x \ne 0$):
$t(t + 1) = 2$
$t^2 + t - 2 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Его корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.
Выполним обратную замену:
1) $log_3 x = 1 \implies x = 3^1 = 3$.
2) $log_3 x = -2 \implies x = 3^{-2} = \frac{1}{9}$.
Оба найденных значения $x$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $3; \frac{1}{9}$.

б) $2 log_x 5 - 3 = -log_5 x$

ОДЗ: $x > 0$ и $x \ne 1$.
Приведем уравнение к одному логарифму. Перенесем $log_5 x$ в левую часть и воспользуемся свойством $log_x 5 = \frac{1}{log_5 x}$:
$2 \cdot \frac{1}{log_5 x} + log_5 x - 3 = 0$
Сделаем замену $t = log_5 x$ (где $t \ne 0$):
$\frac{2}{t} + t - 3 = 0$
Умножим все члены уравнения на $t$:
$2 + t^2 - 3t = 0$
$t^2 - 3t + 2 = 0$
Корни этого квадратного уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.
Выполним обратную замену:
1) $log_5 x = 1 \implies x = 5^1 = 5$.
2) $log_5 x = 2 \implies x = 5^2 = 25$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $5; 25$.

в) $log_7 x - 1 = 6 log_x 7$

ОДЗ: $x > 0$ и $x \ne 1$.
Используем свойство $log_x 7 = \frac{1}{log_7 x}$ и подставим в уравнение:
$log_7 x - 1 = 6 \cdot \frac{1}{log_7 x}$
Пусть $t = log_7 x$ ($t \ne 0$):
$t - 1 = \frac{6}{t}$
Умножим на $t$:
$t(t-1) = 6$
$t^2 - t - 6 = 0$
Корни квадратного уравнения: $t_1 = 3$ и $t_2 = -2$.
Выполним обратную замену:
1) $log_7 x = 3 \implies x = 7^3 = 343$.
2) $log_7 x = -2 \implies x = 7^{-2} = \frac{1}{49}$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $343; \frac{1}{49}$.

г) $log_2 x + 9 log_x 2 = 10$

ОДЗ: $x > 0$ и $x \ne 1$.
Используем свойство $log_x 2 = \frac{1}{log_2 x}$:
$log_2 x + 9 \cdot \frac{1}{log_2 x} = 10$
Пусть $t = log_2 x$ ($t \ne 0$):
$t + \frac{9}{t} = 10$
Умножим обе части на $t$:
$t^2 + 9 = 10t$
$t^2 - 10t + 9 = 0$
Корни квадратного уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = 9$.
Выполним обратную замену:
1) $log_2 x = 1 \implies x = 2^1 = 2$.
2) $log_2 x = 9 \implies x = 2^9 = 512$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $2; 512$.