Номер 46.6, страница 186, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§46. Переход к новому основанию логарифма. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 46.6, страница 186.

46.6 а) $\log_2 6$ и $\log_4 5$;

б) $\log_{\frac{1}{2}} 3$ и $\log_{\frac{1}{4}} 1,5$;

в) $\log_9 6$ и $\log_3 7$;

г) $\log_{\frac{1}{3}} 4$ и $\log_{\frac{1}{9}} 7$.

а) Сравним числа $\log_2 6$ и $\log_4 5$. Для этого приведем логарифмы к одному основанию 2. Преобразуем второй логарифм, используя свойства $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$ и $n \log_a b = \log_a b^n$: $\log_4 5 = \log_{2^2} 5 = \frac{1}{2} \log_2 5 = \log_2 5^{1/2} = \log_2 \sqrt{5}$. Теперь нам нужно сравнить $\log_2 6$ и $\log_2 \sqrt{5}$. Логарифмическая функция с основанием $a=2 > 1$ является возрастающей, поэтому большему значению аргумента соответствует большее значение логарифма. Сравним аргументы: $6$ и $\sqrt{5}$. Так как $6^2 = 36$, а $(\sqrt{5})^2 = 5$, и $36 > 5$, то $6 > \sqrt{5}$. Следовательно, $\log_2 6 > \log_2 \sqrt{5}$, а значит $\log_2 6 > \log_4 5$. Ответ: $\log_2 6 > \log_4 5$.

б) Сравним числа $\log_{\frac{1}{2}} 3$ и $\log_{\frac{1}{4}} 1,5$. Приведем логарифмы к основанию $\frac{1}{2}$. Преобразуем второй логарифм: $\log_{\frac{1}{4}} 1,5 = \log_{(\frac{1}{2})^2} 1,5 = \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{2}} 1,5 = \log_{\frac{1}{2}} (1,5)^{1/2} = \log_{\frac{1}{2}} \sqrt{1,5}$. Теперь сравним $\log_{\frac{1}{2}} 3$ и $\log_{\frac{1}{2}} \sqrt{1,5}$. Логарифмическая функция с основанием $a=\frac{1}{2}$, где $0 < a < 1$, является убывающей. Это значит, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение логарифма. Сравним аргументы: $3$ и $\sqrt{1,5}$. Так как $3^2=9$, а $(\sqrt{1,5})^2=1,5$, и $9 > 1,5$, то $3 > \sqrt{1,5}$. Поскольку функция убывающая, знак неравенства меняется на противоположный: $\log_{\frac{1}{2}} 3 < \log_{\frac{1}{2}} \sqrt{1,5}$. Следовательно, $\log_{\frac{1}{2}} 3 < \log_{\frac{1}{4}} 1,5$. Ответ: $\log_{\frac{1}{2}} 3 < \log_{\frac{1}{4}} 1,5$.

в) Сравним числа $\log_9 6$ и $\log_3 7$. Приведем логарифмы к основанию 3. Преобразуем первый логарифм: $\log_9 6 = \log_{3^2} 6 = \frac{1}{2} \log_3 6 = \log_3 6^{1/2} = \log_3 \sqrt{6}$. Теперь сравним $\log_3 \sqrt{6}$ и $\log_3 7$. Логарифмическая функция с основанием $a=3 > 1$ является возрастающей. Сравним аргументы: $\sqrt{6}$ и $7$. Так как $(\sqrt{6})^2=6$, а $7^2=49$, и $6 < 49$, то $\sqrt{6} < 7$. Следовательно, $\log_3 \sqrt{6} < \log_3 7$, а значит $\log_9 6 < \log_3 7$. Ответ: $\log_9 6 < \log_3 7$.

г) Сравним числа $\log_{\frac{1}{3}} 4$ и $\log_{\frac{1}{9}} 7$. Приведем логарифмы к основанию $\frac{1}{3}$. Преобразуем второй логарифм: $\log_{\frac{1}{9}} 7 = \log_{(\frac{1}{3})^2} 7 = \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{3}} 7 = \log_{\frac{1}{3}} 7^{1/2} = \log_{\frac{1}{3}} \sqrt{7}$. Теперь сравним $\log_{\frac{1}{3}} 4$ и $\log_{\frac{1}{3}} \sqrt{7}$. Логарифмическая функция с основанием $a=\frac{1}{3}$, где $0 < a < 1$, является убывающей. Сравним аргументы: $4$ и $\sqrt{7}$. Так как $4^2=16$, а $(\sqrt{7})^2=7$, и $16 > 7$, то $4 > \sqrt{7}$. Поскольку функция убывающая, знак неравенства меняется на противоположный: $\log_{\frac{1}{3}} 4 < \log_{\frac{1}{3}} \sqrt{7}$. Следовательно, $\log_{\frac{1}{3}} 4 < \log_{\frac{1}{9}} 7$. Ответ: $\log_{\frac{1}{3}} 4 < \log_{\frac{1}{9}} 7$.