Номер 45.18, страница 185, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§45. Логарифмические неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 45.18, страница 185.

45.18 a)

$ \begin{cases} \log_{0.1}(x^2 - 12) < \log_{0.1}(-x), \\ 2^{x-1} > \frac{1}{8}; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 3^{x^2 - 5x - 4} < 9, \\ \log_{\frac{1}{5}}(x^2 + 3) \ge \log_{\frac{1}{5}} 4x. \end{cases} $

а)

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} \log_{0,1}(x^2 - 12) < \log_{0,1}(-x), \\ 2^{x-1} > \frac{1}{8}\end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $\log_{0,1}(x^2 - 12) < \log_{0,1}(-x)$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} x^2 - 12 > 0 \\ -x > 0\end{cases}$

Из второго неравенства получаем $x < 0$. Первое неравенство $x^2 > 12$ имеет решение $x \in (-\infty; -\sqrt{12}) \cup (\sqrt{12}; +\infty)$, или $x \in (-\infty; -2\sqrt{3}) \cup (2\sqrt{3}; +\infty)$.Пересекая оба условия, получаем ОДЗ: $x \in (-\infty; -2\sqrt{3})$.

Теперь решим само неравенство. Так как основание логарифма $0,1$ находится в интервале $(0; 1)$, логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 - 12 > -x$

$x^2 + x - 12 > 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + x - 12 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -4$.Так как ветви параболы $y = x^2 + x - 12$ направлены вверх, решением неравенства является объединение интервалов $(-\infty; -4) \cup (3; +\infty)$.

Найдем пересечение этого решения с ОДЗ: $x \in (-\infty; -2\sqrt{3})$. Так как $-4 < -2\sqrt{3}$ (поскольку $16 > 12$), то решением первого неравенства с учетом ОДЗ является интервал $(-\infty; -4)$.

2. Решим второе неравенство: $2^{x-1} > \frac{1}{8}$.

Представим правую часть как степень с основанием 2: $\frac{1}{8} = 2^{-3}$.

$2^{x-1} > 2^{-3}$

Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция является возрастающей. Следовательно, знак неравенства при переходе к показателям сохраняется:

$x - 1 > -3$

$x > -2$

Решением второго неравенства является интервал $(-2; +\infty)$.

3. Найдем решение системы как пересечение решений обоих неравенств: $(-\infty; -4) \cap (-2; +\infty)$.

Данные интервалы не имеют общих точек, следовательно, их пересечение пусто.

Ответ: нет решений.

б)

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 3^{x^2 - 5x - 4} < 9, \\ \log_{\frac{1}{5}}(x^2 + 3) \ge \log_{\frac{1}{5}}(4x)\end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $3^{x^2 - 5x - 4} < 9$.

Представим $9$ как степень с основанием 3: $9 = 3^2$.

$3^{x^2 - 5x - 4} < 3^2$

Так как основание $3 > 1$, показательная функция возрастающая, поэтому знак неравенства сохраняется:

$x^2 - 5x - 4 < 2$

$x^2 - 5x - 6 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 5x - 6 = 0$. Корни равны $x_1 = 6$ и $x_2 = -1$.Так как ветви параболы направлены вверх, решение неравенства находится между корнями: $x \in (-1; 6)$.

2. Решим второе неравенство: $\log_{\frac{1}{5}}(x^2 + 3) \ge \log_{\frac{1}{5}}(4x)$.

Найдем ОДЗ: аргументы логарифмов должны быть положительными.

$\begin{cases} x^2 + 3 > 0 \\ 4x > 0\end{cases}$

Неравенство $x^2 + 3 > 0$ верно для любого действительного $x$. Из второго неравенства $4x > 0$ получаем $x > 0$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (0; +\infty)$.

Основание логарифма $\frac{1}{5} < 1$, поэтому логарифмическая функция убывающая. При переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 + 3 \le 4x$

$x^2 - 4x + 3 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$. Корни равны $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.Решением неравенства является отрезок $[1; 3]$.

Учитывая ОДЗ ($x > 0$), решение второго неравенства остается $x \in [1; 3]$.

3. Найдем решение системы как пересечение решений обоих неравенств: $(-1; 6) \cap [1; 3]$.

Пересечением этих множеств является отрезок $[1; 3]$.

Ответ: $x \in [1; 3]$.