Номер 46.7, страница 186, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§46. Переход к новому основанию логарифма. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 46.7, страница 186.

Решите уравнение:

46.7 a) $log_4 x + log_{16} x + log_2 x = 7;$

б) $log_3 x + log_{\sqrt{3}} x + log_{\frac{1}{3}} x = 6.$

a) $\log_4 x + \log_{16} x + \log_2 x = 7$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным, поэтому $x > 0$.

Для решения уравнения приведем все логарифмы к одному основанию. Наиболее удобным общим основанием является 2, так как $4 = 2^2$ и $16 = 2^4$.

Воспользуемся формулой $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$.

Преобразуем каждый логарифм в уравнении:

$\log_4 x = \log_{2^2} x = \frac{1}{2} \log_2 x$

$\log_{16} x = \log_{2^4} x = \frac{1}{4} \log_2 x$

Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:

$\frac{1}{2} \log_2 x + \frac{1}{4} \log_2 x + \log_2 x = 7$

Для удобства вынесем общий множитель $\log_2 x$ за скобки:

$\log_2 x \cdot (\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + 1) = 7$

Вычислим значение выражения в скобках, приведя дроби к общему знаменателю 4:

$\frac{2}{4} + \frac{1}{4} + \frac{4}{4} = \frac{2+1+4}{4} = \frac{7}{4}$

Уравнение принимает вид:

$\log_2 x \cdot \frac{7}{4} = 7$

Найдем $\log_2 x$:

$\log_2 x = 7 \div \frac{7}{4} = 7 \cdot \frac{4}{7}$

$\log_2 x = 4$

Теперь, по определению логарифма, найдем $x$:

$x = 2^4$

$x = 16$

Проверим, соответствует ли корень ОДЗ. Так как $16 > 0$, решение является верным.

Ответ: $16$

б) $\log_3 x + \log_{\sqrt{3}} x + \log_{\frac{1}{3}} x = 6$

ОДЗ данного уравнения: $x > 0$.

Приведем все логарифмы к основанию 3. Для этого представим основания $\sqrt{3}$ и $\frac{1}{3}$ в виде степени числа 3:

$\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$

$\frac{1}{3} = 3^{-1}$

Используем свойство логарифма $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$ для преобразования членов уравнения:

$\log_{\sqrt{3}} x = \log_{3^{1/2}} x = \frac{1}{1/2} \log_3 x = 2 \log_3 x$

$\log_{\frac{1}{3}} x = \log_{3^{-1}} x = \frac{1}{-1} \log_3 x = -\log_3 x$

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$\log_3 x + 2 \log_3 x - \log_3 x = 6$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(1 + 2 - 1) \log_3 x = 6$

$2 \log_3 x = 6$

Разделим обе части уравнения на 2:

$\log_3 x = 3$

По определению логарифма, найдем $x$:

$x = 3^3$

$x = 27$

Найденный корень $x=27$ удовлетворяет ОДЗ ($27 > 0$).

Ответ: $27$