Номер 46.1, страница 186, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§46. Переход к новому основанию логарифма. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 46.1, страница 186.

46.1 Вычислите:

a) $log_{2}{\frac{1}{3}} + log_{4}{9};$

б) $log_{\sqrt{3}}{3\sqrt{2}} + log_{3}{\frac{1}{2}};$

в) $log_{25}{9} - log_{5}{3};$

г) $log_{16}{4} - log_{4}{8}.$

а) $ \log_{2}{\frac{1}{3}} + \log_{4}{9} $
Для того чтобы выполнить сложение логарифмов, необходимо привести их к одинаковому основанию. Удобнее всего привести оба логарифма к основанию 2.
Преобразуем второй член выражения, используя формулу перехода к новому основанию в виде $ \log_{a^k}{b^m} = \frac{m}{k}\log_{a}{b} $.
Поскольку $ 4 = 2^2 $ и $ 9 = 3^2 $, получаем:
$ \log_{4}{9} = \log_{2^2}{3^2} = \frac{2}{2}\log_{2}{3} = 1 \cdot \log_{2}{3} = \log_{2}{3} $
Теперь исходное выражение можно переписать так:
$ \log_{2}{\frac{1}{3}} + \log_{2}{3} $
Воспользуемся свойством суммы логарифмов с одинаковым основанием: $ \log_{a}{x} + \log_{a}{y} = \log_{a}{(xy)} $.
$ \log_{2}{(\frac{1}{3} \cdot 3)} = \log_{2}{1} $
Логарифм единицы по любому основанию равен нулю, так как $ 2^0 = 1 $.
$ \log_{2}{1} = 0 $
Ответ: 0

б) $ \log_{\sqrt{3}}{3\sqrt{2}} + \log_{3}{\frac{1}{2}} $
Приведем логарифмы к основанию 3.
Преобразуем первый логарифм, учитывая, что $ \sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}} $:
$ \log_{\sqrt{3}}{3\sqrt{2}} = \log_{3^{\frac{1}{2}}}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{1/2}\log_{3}{(3\sqrt{2})} = 2\log_{3}{(3\sqrt{2})} $
Используем свойство логарифма произведения $ \log_{a}{(xy)} = \log_{a}{x} + \log_{a}{y} $:
$ 2\log_{3}{(3\sqrt{2})} = 2(\log_{3}{3} + \log_{3}{\sqrt{2}}) = 2(1 + \log_{3}{2^{\frac{1}{2}}}) = 2(1 + \frac{1}{2}\log_{3}{2}) = 2 + \log_{3}{2} $
Преобразуем второй логарифм, используя свойство $ \log_{a}{\frac{1}{x}} = -\log_{a}{x} $:
$ \log_{3}{\frac{1}{2}} = -\log_{3}{2} $
Теперь сложим полученные выражения:
$ (2 + \log_{3}{2}) + (-\log_{3}{2}) = 2 + \log_{3}{2} - \log_{3}{2} = 2 $
Ответ: 2

в) $ \log_{25}{9} - \log_{5}{3} $
Приведем логарифмы к одному основанию 5.
Представим основание и аргумент первого логарифма в виде степеней: $ 25 = 5^2 $ и $ 9 = 3^2 $.
$ \log_{25}{9} = \log_{5^2}{3^2} $
Используем свойство $ \log_{a^k}{b^m} = \frac{m}{k}\log_{a}{b} $:
$ \log_{5^2}{3^2} = \frac{2}{2}\log_{5}{3} = \log_{5}{3} $
Подставим полученное значение в исходное выражение:
$ \log_{5}{3} - \log_{5}{3} = 0 $
Ответ: 0

г) $ \log_{16}{4} - \log_{4}{8} $
Для вычисления приведем оба логарифма к общему основанию 2.
Напомним, что $ 16 = 2^4 $, $ 4 = 2^2 $ и $ 8 = 2^3 $.
Преобразуем первый логарифм:
$ \log_{16}{4} = \log_{2^4}{2^2} = \frac{2}{4}\log_{2}{2} = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} $
Преобразуем второй логарифм:
$ \log_{4}{8} = \log_{2^2}{2^3} = \frac{3}{2}\log_{2}{2} = \frac{3}{2} \cdot 1 = \frac{3}{2} $
Теперь выполним вычитание полученных значений:
$ \frac{1}{2} - \frac{3}{2} = -\frac{2}{2} = -1 $
Ответ: -1