Номер 46.8, страница 186, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§46. Переход к новому основанию логарифма. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 46.8, страница 186.

46.8 a) $3 \log^2_3 x = \frac{5}{\log_x 3} + 2;$

б) $2 \log^2_2 x = \frac{5}{\log_x 2} + 3.$

а) $3 \log_3^2 x = \frac{5}{\log_x 3} + 2$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение $\log_3 x$ определено при $x > 0$. Выражение $\log_x 3$ определено при $x > 0$ и $x \neq 1$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, +\infty)$.

Для решения уравнения воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма: $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$. Применим ее к $\log_x 3$:

$\log_x 3 = \frac{1}{\log_3 x}$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$3 \log_3^2 x = \frac{5}{\frac{1}{\log_3 x}} + 2$

$3 \log_3^2 x = 5 \log_3 x + 2$

Это уравнение является квадратным относительно $\log_3 x$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_3 x$. Тогда уравнение принимает вид:

$3t^2 = 5t + 2$

$3t^2 - 5t - 2 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 = 7^2$

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 7}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Теперь выполним обратную замену:

1) Если $t = 2$, то $\log_3 x = 2$, откуда $x = 3^2 = 9$.

2) Если $t = -\frac{1}{3}$, то $\log_3 x = -\frac{1}{3}$, откуда $x = 3^{-1/3} = \frac{1}{\sqrt[3]{3}}$.

Оба полученных значения $x=9$ и $x=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $9; \frac{1}{\sqrt[3]{3}}$.

б) $2 \log_2^2 x = \frac{5}{\log_x 2} + 3$

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения: $x > 0$ и $x \neq 1$.

Используем формулу перехода к новому основанию логарифма $\log_x 2 = \frac{1}{\log_2 x}$ и подставим в уравнение:

$2 \log_2^2 x = \frac{5}{\frac{1}{\log_2 x}} + 3$

$2 \log_2^2 x = 5 \log_2 x + 3$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = \log_2 x$. Уравнение примет вид:

$2y^2 = 5y + 3$

$2y^2 - 5y - 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Выполним обратную замену:

1) Если $y = 3$, то $\log_2 x = 3$, откуда $x = 2^3 = 8$.

2) Если $y = -\frac{1}{2}$, то $\log_2 x = -\frac{1}{2}$, откуда $x = 2^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Оба корня $x=8$ и $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $8; \frac{1}{\sqrt{2}}$.